1. 서 론
2. 연구 방법 및 내용
2.1 다단 보(Stepped Beam)의 굽힘 방정식
2.2 다단 보(Stepped Beam)의 유한요소해석
2.3 커빅 커플링의 등가 탄성계수 계산
2.4 등가 탄성계수를 이용한 보의 압축 변형 계산
2.5 보의 압축 변형 시험 및 비교
3. 검토 및 고찰
4. 결 론
Nomenclature
A : area of section
E : elastic modulus
Eeq : equivalent elastic modulus
I : moment of inertia
L : length of beam
M : bending moment
P : normal force
δ : compressive deformation
θ : slope of beam
y : deflection of beam
1. 서 론
커빅 커플링(Curvic Coupling)은 축과 축을 연결하여 토크와 굽힘 모멘트를 전달하는 기계요소이다. 작은 직경으로 큰 토크를 전달할 수 있으며, 정밀한 곡률을 가지는 치(Teeth)로 인해 단순 조립만으로도 결합된 축 간의 동심을 유지할 수 있다. 이와 같은 장점으로 인해 저온의 압축기와 고온의 터빈이 동축으로 연결되어 고속으로 회전하며 경량화가 요구되는 항공기용 가스터빈 엔진의 회전체에 많이 사용된다.
가스터빈 엔진은 회전체가 가지는 고유 진동 모드 이상의 회전수 영역에서 주로 작동하기 때문에 회전체 동역학 해석을 통해 고유 모드 통과 시 응답 특성과 작동 회전수와의 마진 등을 평가해야 한다. 이러한 회전체 동역학 해석을 위해서는 각 구성품의 기하학적 형상과 재료의 탄성계수와 밀도 등의 물성치가 필요하다. 커빅 커플링으로 연결된 부위는 치의 기하학적 형상과 접촉으로 인해 고유한 강성 값을 가지며 이를 정확히 알아야 회전체 동역학 평가가 가능하다.
기존에는 커빅 커플링의 접촉면에서의 접촉 강성을 이용하여 굽힘 강성을 도출하는 방법에 관한 연구가 많이 있었다[1]. 그러나 이 방법을 적용하기 위해서는 커빅 커플링 표면의 거칠기를 측정해야 한다. 또한, 커빅 커플링부의 길이를 고려하지 않고 단일 평면에서 접촉하는 것으로 가정하므로 커빅 커플링 주변부의 연속적인 굽힘 변형을 반영하지 못하는 등의 제약이 있다.
이러한 제약을 보완하기 위해 본 논문에서는 커빅 커플링의 강성에 해당하는 등가의 탄성계수를 직접 구하여 회전체 동역학 해석에 사용할 수 있도록 하였다.
2. 연구 방법 및 내용
2.1 다단 보(Stepped Beam)의 굽힘 방정식
커빅 커플링으로 연결된 두 축을 보로 가정을 하면 각각 서로 다른 형상과 소재로 구성된 세 개의 다단 보로 정의할 수 있다. 이 다단 보의 한쪽 면을 고정하고 반대쪽 끝에 일정한 모멘트가 인가되어 진 외팔보를 Fig. 1과 같이 도식화할 수 있다.
각각의 보는 서로 다른 관성 모멘트(I1, I2, I3), 길이(L1, L2, L3), 그리고 탄성계수(E1, E2, E3)를 가진다. 여기서 가운데 I2, L2, E2의 보가 커빅 커플링에 해당된다.
외팔보 자유단에 일정한 모멘트가 작용할 때 보의 굽힘 방정식에 따라 경사각과 처짐은 각각 Eq. 1 및 Eq. 2와 같다[2].
상기의 수식에 따라 다단 보에서의 경사각과 처짐을 중첩법을 사용하여 아래와 같이 도출할 수 있다. Fig. 1에서 첫 번째 보의 끝단인 A 지점에서의 경사각과 처짐은 각각 Eq. 3 및 Eq. 4와 같다.
그리고 두 번째 보의 끝단인 B 지점에서의 경사각과 처짐은 각각 Eq. 5 및 Eq. 6과 같이 계산된다.
여기서, 는 A에 대한 B의 경사각이며,
여기서, 는 A에 대한 B의 처짐이다.
따라서, 세 번째 보의 끝단인 C 지점에서의 처짐은 Eq. 7과 같이 나타낼 수 있다.
여기서, 는 B에 대한 C의 처짐이다.
두 번째 보를 커빅 커플링이라고 할 때, Eq. 7의 우변에서 커빅 커플링의 탄성계수에 해당되는 E2만 미지수이므로, C 지점의 처짐 을 알면 커빅 커플링의 탄성계수를 구할 수 있다.
2.2 다단 보(Stepped Beam)의 유한요소해석
커빅 커플링으로 연결된 두 개의 원통형 보에 대해 유한요소해석으로 끝단에서의 처짐을 구하였으며, 이에 대한 해석 모델은 Fig. 2와 같다.
외팔보의 자유단에는 200 N․m의 굽힘 모멘트를 인가하였으며, 동시에 굽힘 모멘트에 대해 커빅 커플링이 분리되지 않고 접촉을 유지할 수 있도록 보의 축 방향으로 40,000 N의 압축 하중을 인가하였다. 적용된 굽힘 모멘트와 하중은 커빅 커플링이 적용된 실제 가스터빈 엔진의 설계 결과를 참조하였다. 해석에 적용된 커빅 커플링의 제원은 현재 개발 중인 엔진에 적용된 커빅 커플링의 외경, 치개수, 치폭 등에 의해 치높이(Whole Depth)가 계산되며 그 결과는 Table 1과 같으며[3], 보의 단면 형상은 Table 2와 같다.
Table 1
Specifications of curvic coupling.
| Outer diameter(mm) | 71.4 |
| Number of teeth | 20 |
| Tooth width(mm) | 7.5 |
| Pressure angle(degree) | 30 |
| Whole depth(mm)* | 2.79 |
Table 2
Dimensions of beams.
| Outer diameter(mm) | 71.4 |
| Inner diameter(mm) | 56.4 |
| Length of left beam(mm) |
46.85 (50)* |
| Length of right beam(mm) |
46.85 (50)* |
| Length of curvic coupling area(mm) | 3.5 |
유한요소해석에는 범용해석 프로그램인 Ansys를 사용하였으며, Fig. 3과 같이 Tet10 요소를 사용하였다. 사용된 요소의 개수는 약 173,000개 이며 절점의 개수는 약 264,000개 이다. 요소의 크기는 커빅 커플링의 치 높이를 따라 5개 이상이 들어가게 하여 치의 탄성 거동과 접촉을 충분히 모사할 수 있도록 하였으며, 원통 구간에서는 요소의 크기를 상대적으로 크게 설정하여 원통 두께를 따라 4개 이상의 요소가 들어가게 하였다.
가스터빈 엔진의 회전체는 압축기부와 터빈부에서 각각 다른 온도 환경에 노출되므로 다양한 소재로 구성된다. 따라서 본 연구에서도 압축기부에 주로 사용되는 Ti-6-4 소재와 터빈부에 주로 사용되는 Inconel718 소재, 그리고 압축기부와 터빈부가 서로 다른 이종의 소재로 연결되는 것을 모사(고정부는 Ti-6-4 소재이며, 하중 인가부는 A286 소재 적용)하여 Table 3과 같이 세 가지 소재 조건에 대해 해석을 수행하였다.
Table 3
Analysis cases and material properties.
| Material |
Elastic modulus (N/m2) | |
| Case 1 | Ti-6-4 | 1.165E+11 |
| Case 2 | Inconel718 | 2.027E+11 |
| Case 3 | Ti-6-4(Fix) | 1.165E+11 |
| A286(Load) | 2.006E+11 |
상기의 해석 조건에 따른 유한요소 해석 결과에서 보의 처짐 방향에 대한 변위 분포를 Fig. 4에 각각의 소재별로 나타내었다.
그리고, 보의 끝단에서의 처짐 변형량을 구하여 각각의 소재별로 Table 4에 정리하였는데, 변형량은 원주 방향 위치에 따라 차이가 있으므로 보의 중심축의 처짐을 대변하기 위해 끝단면 절점 전체의 처짐량에 대한 평균값을 사용하였다.
Table 4
Deflection result of beam at the end of beam.
| Material | Deflection (mm) | |
| Case 1 | Ti-6-4 | 0.01442 |
| Case 2 | Inconel718 | 0.00858 |
| Case 3 | Ti-6-4(Fix) | 0.01253 |
| A286(Load) |
2.3 커빅 커플링의 등가 탄성계수 계산
각각의 소재 조건에 대해 Table 4의 유한요소 해석에의한 처짐 변형량 결과를 Eq. 7에 적용하여 E2 값을 계산하면 해당 값이 구하고자 하는 커빅 커플링의 등가 탄성계수이다. 각각의 소재별로 계산 결과를 Table 5에 정리하였다.
Table 5
Equivalent elastic modulus of curvic coupling.
| Material |
Equivalent elastic modulus, Eeq (N/m2) | |
| Case 1 | Ti-6-4 | 1.039E+10 |
| Case 2 | Inconel718 | 1.615E+10 |
| Case 3 | Ti-6-4(Fix) | 1.302E+10 |
| A286(Load) |
그리고 Eq. 7에 앞에서 구한 등가 탄성계수를 적용하여 각각의 소재별로 다단 보 전체 구간에서의 처짐량을 계산하여 시각화한 것이 Fig. 5이다. 커빅 커플링부의 등가 탄성계수가 모재의 탄성계수 대비 약 1/10 이하 수준이므로 중앙부의 커빅 커플링 구간의 길이가 짧음에도 불구하고 큰 경사각으로 인해 보 끝단부의 처짐량에 가장 큰 영향을 주는 것을 알 수 있다.
2.4 등가 탄성계수를 이용한 보의 압축 변형 계산
보에서 굽힘이 발생하는 경우에 중립면을 기준으로 한쪽은 인장이 발생하고 한쪽은 압축이 발생한다. 따라서 앞에서 구한 커빅 커플링의 등가 탄성계수를 적용하여 보의 압축 변형을 구할 수 있다. 굽힘 해석에서 사용한 것과 동일한 보에 대해서 Fig. 6과 같이 압축 하중을 인가하여 압축 변형량을 구하였다.
L1과 L2 및 커빅 커플링 구간 LC로 나누어진 다단 보에서 압축 하중 P가 작용할 때, 보 전체의 압축 변형량 δ는 Eq. 8과 같다.
여기서, 는 앞에서 구한 커빅 커플링의 등가 탄성계수이다. 압축 하중이 40,000 N 일 때 각각의 소재 조건에 대해 압축 변형량 δ를 구하고, 선형 강성에 해당하는 기울기인 하중을 변형량으로 나눈 값을 계산하였다. 이에 따른 결과를 Table 6에 정리하였다.
Table 6
Compressive Deformation Result of Beam and Stiffness Calculation.
| Material |
Deformation (mm) |
Stiffness (N/mm) | |
| Case1 | Ti-6-4 | 0.03048 | 1,312,477 |
| Case2 | Inconel718 | 0.01813 | 2,205,877 |
| Case3 |
Ti-6-4 (Beam 1) | 0.02416 | 1,655,934 |
|
A286 (Beam 2) |
2.5 보의 압축 변형 시험 및 비교
보의 압축 변형량을 시험으로 측정하기 위해 해석 및 계산에 사용된 형상과 동일하게 시편을 제작하였다. 시편을 Fig. 7과 같이 인장압축 시험기에 장착하여 하중에 대한 압축 변형량을 측정하였다. 시험에 사용된 시험기 및 변위량 측정 게이지의 사양은 Table 7과 같다. 커빅 커플링 시편 조립체에 압축 하중을 10,000 N 부터 60,000 N 까지 증가시켜 가며 게이지로 시편의 압축 변형량을 측정하였다.
Table 7
Specifications of Test Equipment.
| Type of test equipment | Tensile compress test machine |
| Maximum load | 18,200 kN |
| Test speed | 0.1 mm/min |
| Resolution of displacement gage | 0.001 mm |
각각의 소재별 측정 결과는 Fig. 8과 같으며, 계단 형태의 결과를 보이는 것은 측정 게이지의 해상도에 기인한 것이다. 측정된 결과를 앞 절에서 계산한 강성 결과와 비교하기 위해, 하중-변위에 대한 기울기를 계산하였다. 그래프에서 하중 40,000 N 전후 구간에서 자료를 추출하여 붉은색 점선과 같이 기울기를 계산하였다.
앞 절에서 등가 탄성계수를 사용하여 계산된 강성 결과와 시험으로 측정된 그래프에서 도출한 기울기를 Table 8에 비교하였다. Ti-6-4 소재에서는 시험 결과가 약 1.5% 작게 나왔으며, Inconel718 소재에서는 시험결과가 약 2.7% 크게 나왔고, Ti-6-4와 A286의 이종 소재에서는 시험 결과가 약 1.9% 작게 나왔다.
3. 검토 및 고찰
커빅 커플링의 등가 탄성계수를 계산하기 위해 커빅 커플링으로 연결된 두 축을 세 개의 다단 보로 가정하고 외팔보의 굽힘 방정식을 도출하였다. 그리고 동일한 형상에 대해 유한요소해석을 통해 굽힘 모멘트에 의한 처짐량을 구하여 보의 굽힘 방정식에 대입함으로써 커빅 커플링부의 등가 탄성계수를 계산할 수 있었다. 이를 통해 현재 개발 중인 엔진의 회전체에서 사용되는 Ti-6-4 소재, Inconel718 소재, 그리고 Ti-6-4와 A286의 이종 소재로 이루어진 커빅 커플링부의 등가 탄성계수를 도출할 수 있었다.
Ti-6-4 소재 커빅 커플링의 등가 탄성계수는 모재의 탄성계수 대비 약 8.9% 이며, Inconel718 소재 커빅 커플링의 등가 탄성계수는 모재의 탄성계수 대비 약 8.0%, 그리고 Ti-6-4와 A286의 이종 소재로 이루어진 커빅 커플링의 등가 탄성계수는 Ti-6-4 모재의 탄성계수 대비 약 11.2%이며, A286 모재와 대비하면 약 6.5%에 해당하는 것을 알 수 있었다.
계산으로 도출된 등가 탄성계수를 검증하기 위해 비교 시험을 수행하였다. 계산에 사용된 모델과 동일하게 다단 외팔보의 처짐을 측정하는 시험을 수행할 경우, 보의 끝단에 굽힘 모멘트를 인가함과 동시에 처짐량을 측정하는 방법은 시험 설비의 구성이 복잡하고 결과의 정확성이 높지 않을 것으로 판단하였다. 이에 따라 본 논문에서는 압축 변형 시험을 수행하여 등가 탄성계수를 검증하는 방안을 제안하였다.
도출된 커빅 커플링의 등가 탄성계수를 압축 변형 관계식에 대입하여 보의 압축량을 구하고 하중-변위에 대한 기울기를 계산하였고, 시험으로 측정한 하중-변위 기울기와 비교하여 그 차이를 확인하였다. 상기의 전 과정을 Fig. 9와 같이 흐름도로 나타내었다.
등가 탄성계수를 적용한 압축 변형 계산 결과와 압축 시험 결과를 비교하면 최대 약 2.7% 차이가 발생하였으며, 이 정도의 오차는 회전체 동역학 해석 평가에 활용하기에 문제가 없는 수준으로 판단된다.
4. 결 론
본 연구에서는 커빅 커플링으로 결합된 두 축을 다단 외팔보로 가정하여 보의 굽힘 방정식을 유도하였으며, 유한요소해석을 통해 처짐량을 구하여 앞에서 유도한 보의 굽힘 방정식에 대입함으로써 커빅 커플링부의 등가 탄성계수를 도출할 수 있었다.
도출된 등가 탄성계수의 비교 검증을 위해 압축 하중-변위에 대한 기울기를 계산하고 압축 시험 결과와 비교하여 그 오차를 확인하였다.
상기의 결과에 따라 본 연구에서 제시한 바와 같이 보의 굽힘 방정식과 유한요소해석을 병행하여 커빅 커플링의 등가 탄성계수를 도출하는 방법은 타당성이 있으며, 회전체 동역학 해석 등의 문제에 실용적으로 적용할 수 있는 방법이라고 사료된다.
본 논문에서 평가된 커빅 커플링의 등가 탄성계수는 엄밀하게는 정적 탄성계수이다. 그러나 경험상 회전체 동역학 해석을 통해 회전체의 고유 모드를 평가하는 데 있어서 소재의 정적 탄성계수를 사용해도 무방한 것으로 판단된다. 한편으로 커빅 커플링을 적용하여 설계된 실제 엔진을 모사한 회전체에 대해, 본 논문에서 제시한 커빅 커플링의 등가 탄성계수를 적용하여 회전체 동역학 해석 및 평가를 완료하였고 회전 시험을 진행 중에 있다. 추후 시험 결과를 분석하고 해석 결과와 비교 검토하여 본 논문에서 제시한 커빅 커플링의 등가 탄성계수에 대한 타당성을 검증하는 후속 연구를 수행할 예정이다.
