On Nonlinear Elastic-Plastic Constitutive Relation for Fatigue-Creep of the Turbine Structure

Sujin Yun; Young-Min Kwon; Kikeun Kim; Dongmin Kim

doi:10.6108/KSPE.2026.30.3.035

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RESEARCH PAPERS

Journal of the Korean Society of Propulsion Engineers. 30 June 2026. 33-50
https://doi.org/10.6108/KSPE.2026.30.3.035

On Nonlinear Elastic-Plastic Constitutive Relation for Fatigue-Creep of the Turbine Structure

터보팬 엔진 터빈 부품의 피로-크리프 분석을 위한 비선형 탄소성 구성방정식

Sujin Yun^a^*

Young-Min Kwon^a

Kikeun Kim^a

Dongmin Kim^a

윤 수진^a^*

권 영민^a

김 기근^a

김 동민^a

^a1st R&D Institute - 4th Directorate Agency for Defense Development, Korea

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

The turbine blades of turbo engines are subjected to a severe thermo-mechanical cyclic load and may experience creep and LCF (Low Cycle Fatigue) due to severe temperature gradient. Thus, the structure suffers from the inelastic deformation resulting in deterioration in the structural integrity. To overcome the above the nickel-based DS (Directional Solidification) and SX (Single Crystal) superalloy castings are introduced, however, such materials exhibit a strong anisotropic characteristics. It is, thus, imperative to develop pertinent constitutive relations with which anisotropic fatigue-creep behavior is analyzed to provide the fundamental features for the design. In the present work the phenomenological elastic-plastic constitutive relations based on Hill’s operator are developed assuming distinctive rate-independent plastic and creep deformation to construct the stress-strain rate relations. Moreover, an emphasis is placed on determination of the hardening coefficient of nonlinear kinematic hardening rule. To this end, a combined two back-stress model using two evolution rules is proposed as well.

Keywords

Turbo Engine

Back-Stress

Combined Two Back-Stress

Creep

Elasto-Plasticity

Fatigue

터보팬 엔진의 터빈 블레이드는 극심한 열적 조건에 따른 온도 구배와 구조적 하중을 받는 부품으로 반복 하중에 따른 누적 피로 소성변형(LCF)와 장시간 노출에 따른 크리프 변형을 겪을 수 있다. 따라서 Ni 초내열합금 블레이드 소재는 기존 다결정(EQ), 일방향 응고(DS)를 거쳐 단결정(SX) 주조재가 적용되는 추세이다. 언급된 DS 및 SX 주조품은 이방성 소재로 비선형 변형을 모사할 수 있는 적합한 구성방정식이 요구된다. 본 연구에서는 터빈 블레이드에서의 변형 거동을 모사하기 위한 후방응력 계수 획득 과정을 비롯해 탄소성-크리프 통합 변형율 독립 구성방정식이 도출되었다. 아울러 반복 하중에 따른 소성변형 누적을 모사하기 위한 이중 후방응력 모델이 제안되었다.

키워드

터보 엔진

후방응력

이중 후방응력

크리프

탄소성

피로

MAIN

Nomenclature
1. 서 론
2. 구성방정식
2.1 소재 및 탄성영역
2.2 항복함수와 소성 흐름(plastic flow)
2.3 후방응력 전개식
2.4 경화 계수 획득(back-stress evolution co.)
2.5 크리프 변형 거동
3. 구성 방정식
3.1 피로, 크리프 구성방정식
3.2 피로-크리프 통합 구성방정식
4. 결 어

Nomenclature

$\bar{A}$ : damage-free effective quantity

$\dot{A}$ : rate change of quantity

${\overset{ˇ}{A}}_{i j}$ : objective or frame indifferent rate

$A_{i j}$ : stress transformation tensor

$B_{i j}$ : strain transformation tensor

$C_{i j}$ : stiffness of elasticity

$H_{i j}$ : 1^st hardening co. Armstrong-Frederick rule

$L_{i j}$ : tangential modulus

$M_{i j}^{H p}$ : Hill operator in yield function

$m_{i j}^{h c}$ : Hill operator in creep function

$Q_{i j}$ : co. of recovery term Armstrong-Frederick rule

$s_{i}$ : stress deviator

$S_{i j}$ : compliance of stress-strain

$W_{i j}$ , $W_{i j}^{p}$ : continuum, plastic spin

$α_{i}$ : back-stress

$λ^{p}$ : multiplier of plasticity

$λ^{c r}$ : multiplier of creep

$θ^{p}$ : yield function

$Σ_{i}$ : effective stress, $s_{i} - α_{i}$

$ζ_{i j}$ : hardening co. of Phillips rule

𝜙 : continuum damage factor sub, super script

$A F$ : Armstrong-Fredercik back-stress evolution

$c r$ : creep, $e$ : elastic, $e q$ : equivalency

$i n$ : inelastic, $p$ : plastic

$H p$ : variables related to plasticity

$h c$ : variables related to creep

$P H$ : Phillips back-stress evolution

1. 서 론

터보팬 엔진의 핵심적인 구성품으로는 터빈 블레이드와 베인(vane) 및 디스크 등을 들 수 있으며, 극심한 열-기계적 하중에 노출된다[1]. 이러한 가혹한 하중 조건으로 운용 중 소재의 한계를 초과할 수 있으므로 니켈(Nickel) 기저 초내열합금(super-alloy) 소재 개선, 냉각 효율 향상 및 표면 코팅 처리(Thermal Barrier Coating, TBC) 등으로 고온 가스에 노출되는 부품들의 구조안전성과 수명연장 개선에 많은 노력이 집중되고 있다. 그에도 불구하고 최근의 작동 연소 온도 특히 TIT(Turbine Inlet Temperature)의 지속적인 상승으로 취약한 변형 거동인 점진적인 피로(fatigue)와 크리프(creep)과 같은 비탄성(inelastic) 변형의 누적과 같은 난제는 지속되고 있다[2]. 따라서 위에 언급된 문제를 극복하기 위해 일방향 응고(Directional Solidification, DS) 및 단결정(Single Crystal, SX) 주조재가 소개되고 또 적용되고 있다[3]. 언급된 주조재들은 단조품 혹은 일반 주조품과 달리 고유의 이방성(anisotropic)을 특성을 갖는다[4].

더욱이 터빈 블레이드와 베인은 비행 임무에 따라 가열과 냉각을 반복하므로 인장과 압축의 사이클릭 하중을 겪으며 이로 인한 소성변형을 분석하기 위해서는 드레그(drag) 응력(drag)에 기반한 일반적인 등방경화(isotropic hardening) 대신 항복 표면 중심의 이동을 나타내는 후방응력(back stress)을 이용한 이동경화(kinematic hardening)가 적용되어야 현실적인 결과를 기대할 수 있다. 또한 이동경화는 변형율 국부화(strain localization 혹은 shear band) 분석에도 고정된 항복곡면 덕분에 이 점에서 한층 유리하다. 반면 등방경화 경우, 소성변형 전단밴드 형성 시의 응력을 과대평가하며 소성변형 범위가 실제보다 넓다는 단점이 있다[5,6,7].

한편 단결정을 포함한 이방 소재의 분석을 위해 일반적으로 현상학적(phenomenological[8]) 또는 결정학적(crystallographic[9,10]) 접근의 2가지 모델로 크게 구별된다. 여기서 전자는 기존의 등방 von Mises 항복함수에 이방성을 반영한 반면 후자는 결정학의 슬맆계(slip system) 이론에 기반한다. 결정학적 모델은 단결정의 실제 항복 거동을 묘사하는 장점이 있으나, 비선형 변형에 기여하는 슬맆계가 다수로 각 방향의 경화계수가 광범위하며 더욱이 각 슬맆계 간의 간섭을 구분하기 어렵다. 따라서 수많은 경화계수의 확보를 위해 여러 개의 전개식(evolution)을 동시에 확보하는 것이 난제이다. 또 Tresca 항복과 유사한 결정학적 항복함수 꼭지점(vertex)에서의 직각방향(normal)이 유일하지(unique) 않은 단점도 있다. 반면 현상학적 접근의 경우 비교적 안정적인 해를 구할 수 있으며 경제적이나, 소성변형 발생 지점에서의 항복강도를 과대평가한다는 점, 또 소성 흐름 방향(plastic flow 혹은 normality condition)이 실제와는 다소 차이가 발생한다는 점이 단점으로 거론된다. 그에도 불구하고 현상학적 모델이 수렴 면에서 상대적으로 유리해 광범위하게 적용되고 있다[4,11,12,13,14,15,16,17]. 한편 반복 하중 하에서의 비선형 변형에 따른 결함의 발생 또한 구성방정식에 포함되는 것이 바람직하며, 연속체의 응력 및 변형율 등의 기계적/물리적 열화 현상은 분석대상에 불연속성(discontinuity)을 사용하는 기법보다는 연속체 결함 인자(continuum damage factor)로 표현하는 것이 한층 편리하다[14,15,16,17,18].

본 연구에서는 이방성 단결정 소재에 대해 변형율 독립(rate independent) 구성방정식을 얻기 위해 현상학적 항복거동[4,11,19,20,21]에 기반해 비선형 이동경화를 적용한 응력율-변형율 관계식이 유도되었다. 또한 비선형 후방응력 계수 획득 과정도 포함되었으며 아울러 크리프 변형 거동을 위한 전개식도 언급되었다. 그 결과 각각의 점진적 소성흐름 이론( $J_{2}$ flow)을 이용, 접선(tangential) 소성 변형율과 크리프 변형율 전개식을 통해 통합 소성-크리프 구성방정식이 도출되었다. 더욱이 2개의 이동경화 전개식을 이용한 혼합 이중 후방응력(combined two back-stress) 모델이 제안되었다. 본문에서 특별한 경우를 제외하고 편의상 모든 2차원 이상의 텐서는 포크트(Voigt) 형태로 표현되었다.

2. 구성방정식

2.1 소재 및 탄성영역

앞서 언급되었듯이 터빈 엔진의 블레이드나 베인에 적용되는 주조 소재로는 크게 다결정(Equi-Axed, EQ), 일방향 응고(DS) 및 단결정(SX)로 크게 구분된다. 다결정 주조재의 경우, 등방 소재이므로 등방 영률( $E$ )와 포아송 비(𝜈) 및 항복강도 등을 이용 분석이 가능하다. 반면 일방향 응고 및 단결정 소재는 방향별 영률/포아송 비( $E_{i j}, ν_{i j}$ ) 또는 강성(stiffness) 성분으로 주어지며 탄성 관계식은 다음과 같이 표현된다:

(1)

σ_{i} = C_{i j} ϵ_{j}^{e} .

아울러 단결정의 탄성계수는 식 (2)와 같이 직접 강성 메트릭스 성분 주어질 수도 있으며 이때 ‘electron backscatter diffraction and nano- indentation’ 기법이 활용되기도 한다[22].

(2)

C_{i j} = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{matrix}]

한편 강성 메트릭스 성분과 단결정 방향별 탄성 모듈러스 및 포아송 비의 관계는[23]:

(3)

E_{⟨ 001 ⟩} = \frac{c_{11}^{2} + c_{11} c_{12} - 2 c_{12}^{2}}{c_{11} + c_{12}}, E_{⟨ 111 ⟩} = \frac{3 (c_{11} + 2 c_{12}) c_{44}}{c_{11} + 2 c_{12} + c_{44}}, G_{{001}} = c_{44}, G_{{11}} = \frac{3 (c_{11} - c_{12}) c_{44}}{c_{11} - c_{12} + 4 c_{44}}, ν_{⟨ 001 ⟩} = \frac{c_{12}}{c_{11} + c_{12}}, ν_{⟨ 111 ⟩} = \frac{c_{11} + 2 c_{12} - c_{44}}{2 (c_{11} + 2 c_{12} + c_{44})} .

한편 주조공정의 정밀한 제어에도 불구하고 결정 성장 방향은 하중 방향에 대해 대략 8∼15° 정도 범위로 벗어날 수 있다. 따라서 계산 시 각 좌표계간의 변환도 고려되어야 한다. 결정학적 방향과 하중 방향에 대한 관계는[11]:

(4)

{[σ_{i}^{*}]}_{crystal} = A_{i j} {[σ_{j}]}_{load} {[ϵ_{i}^{*}]}_{crystal} = B_{i j} {[ϵ_{j}]}_{load} 이며,

여기서 $A_{i j}, B_{i j}$ 는 좌표변환(transformation) 텐서이다. 그럼 탄성 구성방정식은 아래와 같다:

(5)

d σ_{i} = A_{i k}^{-} 1 E_{k l}^{*} B_{l j} d ϵ_{j} = E_{i j} d ϵ_{j} .

예로 실제 초내열합금 단결정 주조품의 방향별 항복강도에는 큰 차이가 없으나, 결정학적 방향에 따른 탄성계수의 차이가 두드러진다:

(6)

125 (E_{S X}) < 131 (E_{D S}) < 200 (E_{E Q}), (단위 : GPa, @ room temperature) .

단순한 형상을 갖는 탄성 물체에 대해 경계조건은 상하면에 각각 최고 및 최저 온도가 적용되었으며 기계적 하중은 배제되었다. 이때 최고 응력 지점(동일한 element)에서의 해석 결과는 Table 1과 같이 동일한 열팽창 변형에 대해 단결정에서 응력이 가장 낮은 것이 관찰된다.

Table 1.

Comparison of EQ, DS, SX @ specific location of work piece (Obtained using ABAQUS^TM).

Material	$σ_{e q}$ (MPa)
EQ	187
DS	170
SX	133

2.2 항복함수와 소성 흐름(plastic flow)

비선형 변형 거동에서 소성변형율 누적(rachetting)과 크리프를 분리하면, 각각 변형율 독립(rate independent)와 변형율 의존(rate dependent) 내부변수(internal variable) 전개식으로 표현된다[4,19]. 본 연구에서 Chaboche [19]의 소성-크리프 변형 통합 unified model과 달리 피로에 지배적인 소성변형과 경화거동과 무관한 응력완화(stress relaxation 혹은 dwell effect) 크리프 묘사를 위한 구성방정식으로 분리되었다. 사실 수명분석을 위한 소재 DB를 획득하는데 막대한 시간과 비용이 요구되며, 국내 여건상 표준 변형율(strain rate)을 기준으로 확보하는 것이 일반적이다.

앞서 언급되었듯이 결정학적 모델이 보다 실제 항복거동에 밀접하나 반면 현상학적 Hills’ 모델은 소성변형의 방향이 결정학적 모델에 비해 부정확하나 수렴이 용이한 장점이 있다. 특히 “ $δ_{S X} = (k_{1} R_{p}^{< 111 >}) / (k_{2} R_{0}^{< 100 >})$ ” 계수의 도입으로 결정학적 모델과의 차이를 최소화하고 근사 하게 한다[4]. 후방응력을 경화 내부변수로 사용하는 단결정의 이동경화 항복함수는:

(7)

θ^{p} = \frac{1}{2} Σ_{i j} M_{i j k l}^{H p} Σ_{k l} - \frac{1}{3} (R + k)^{2} = 0, 또는 θ^{p} = \frac{1}{2} Σ_{i} M_{i j}^{H p} Σ_{j} - \frac{1}{3} k^{2} = 0 (Voigt index), 이동경화만을 고려하면 R = 0 (drag stress)).

여기서 $Σ_{i j} = s_{i j} - α_{i j}, s_{i j} = σ_{i j} - \frac{1}{3} δ_{i j} σ_{k k}$ 이며, 한편 상세한 이방 항복함수의 Hill 계수(operator)는 참고문헌[4]에 언급되었다:

(8)

M_{i j}^{H p} = [\begin{matrix} G + H & - H & - G & 0 & 0 & 0 \\ - H & H + F & - F & 0 & 0 & 0 \\ - G & - F & F + G & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 N & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 L & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 M \end{matrix}] .

단결정의 방향 <001>을 참고(crystallographic material reference direction)로 설정 시:

(9)

F = G = H = \frac{1}{2}, R_{i} = \frac{σ_{i}^{y}}{σ_{0}^{y}} (σ_{0}^{y} : reference yield) L = M = N = \frac{3}{2} {(δ_{S X})}^{- 2} = \frac{3}{2} {(\frac{R_{p}^{< 111 >}}{R_{p}^{< 100 >}})}^{- 2} .

그럼 소성변형의 방향은 항복 곡면의 직각이므로 직각 조건(normality condition)에 의해:

(10)

d ϵ_{i}^{p} = λ^{p} \frac{\partial θ^{p}}{\partial σ_{i}} = λ^{p} M_{i j}^{H p} Σ_{j} 이며,

다음을 통해:

$d ϵ_{i}^{p} M_{i j}^{H p - 1} d ϵ_{j}^{p} = λ^{p 2} Σ_{i} M_{i j}^{H p} Σ_{j}$ ,

$λ^{p} = \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{\sum_{e q}^{H p}}$ (multiplier of plasticity) 얻는다.

여기서 등가 유효 응력과 등가 소성변형 증분은 아래와 같이 정의되었다:

(11)

Σ_{e q}^{H p} \equiv \sqrt{Σ_{i} M_{i j}^{H p} Σ_{j}}, d ϵ_{e q}^{p} \equiv \sqrt{d ϵ_{i}^{p} M_{i j}^{H p - 1} d ϵ_{j}^{p}} .

여기서 등방경화를 무시하면 $Σ_{e q}^{H p} = \sqrt{\frac{2}{3}} k$ 이다.

그 결과 소성 변형율의 증분은 유효 응력( $Σ$ )에 비례하는 것을 알 수 있다:

(12)

d ϵ_{i}^{p} = \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} M_{i j}^{H p} Σ_{j} (\propto Σ_{j})

결정 성장축과 하중 적용 방향에 차이가 발생할 수 있으므로, 탄성 변형과 마찬가지로 소성 변형율에도 좌표 변환이 계산에 고려되어야 한다:

(13)

d ϵ_{i}^{* p} = M_{i j}^{H p} Σ_{j}^{*} \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}}, B_{i k} d ϵ_{k}^{p} = M_{i j}^{H p} A_{j l} Σ_{l} \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}}, 따라서 d ϵ_{i}^{p} = M_{i k}^{H p} B_{k l}^{- 1} A_{l j} Σ_{j} \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} .

2.3 후방응력 전개식

여러 문헌[11,12,13,14,16,24,25,26,27,28]에서 후방응력 전개식은 Armstrong-Frederick 법칙과 유사하거나 이를 약간 변경한 형태의 이동경화식을 적용했다. 경우에 따라 후방응력 전개식에서 아래와 같이 내부변수인 소성 변형율( $d ϵ^{p}$ ) 대신 비선형 변형율( $d ϵ^{i n} = d ϵ^{p} + d ϵ^{c r}$ )의 함수로 표현하기도 한다[16]:

(14)

d α_{i} = H_{i j} d ϵ_{j}^{i n} - Q_{i j} α_{j} d ϵ_{e q}^{i n}

하지만 위의 전개식에서의 비선형 변형율은 소성뿐만 크리프 변형까지 포함하고 있으므로 크리프 변형에서는 경화 현상이 없다는 주장에 대치되는 것이라고 볼 수 있다. 이는 비선형 변형율( ${\dot{ϵ}}^{i n}$ )의 함수인 응력-변형율 곡선을 아래의 통합 형태의 점소성(rate dependent unified visco-plasticity) 이론을 이용하기 때문이다 [21,28,29,30,31,32]:

(15)

Ω = \frac{K}{n + 1} {<\frac{θ}{K}>}^{n + 1} (potential of visco-plasticity), {\dot{ϵ}}_{i}^{i n} = \frac{\partial Ω}{\partial σ_{i}} = \frac{\partial Ω}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial σ_{i}} = \dot{p} \frac{\partial θ}{\partial σ_{i}} = \frac{3}{2} {<\frac{θ}{K}>}^{n} \frac{M_{i j}^{H p} Σ_{j}}{\sqrt{\frac{3}{2} Σ_{q} M_{p q}^{H p} Σ_{q}}} .

여기서 $\dot{p} = \sqrt{\frac{3}{2} {\dot{ϵ}}_{i}^{i n} M_{i j}^{H p - 1} {\dot{ϵ}}_{j}^{i n}} = {<\frac{θ}{K}>}^{n}$ ,

$n$ : exponent. 한편 본연구에서는 변형율 독립 소성변형을 이용해 이동경화 전개식이 이용되었다.

문헌에 소개된 후방응력 전개식은 다양하며 대표적인 전개식들은 아래에 나열되었다. 단결정이라는 점을 고려하면:

(16)

d α_{i} = H_{i j} d ϵ_{j}^{p} (Prager), d α_{i} = H_{i j} d ϵ_{j}^{p} - Q_{i j} α_{j} d ϵ_{e q}^{H p} (Armstrong-Frederick) d α_{i} = μ_{i j} (s_{j} - α_{j}) (Ziegler), d α_{i} = ζ_{i j} d σ_{j} (Phillips), d α_{i} = {\sum_{I = 1}^{N} d α_{i}|}_{I} (Multi back-stress).

하지만 단일 후방응력 전개만으로 rachetting 거동을 온전히 모사하는 데 한계가 예상된다. 이에 Armstrong-Frederick과 Phillips 법칙을 혼합하면 후방응력 증분에서 ‘ $f$ ’(fractional factor)는 지배적인 후방응력 전개를 결정한다[30]:

(17)

d α_{i} = {f d α_{i}|}_{A F} + {(1 - f) d α_{i}|}_{P H} = f H_{i j} d ϵ_{j}^{p} - f Q_{i j} α_{j} d ϵ_{e q}^{H p} + (1 - f) ζ_{i j} d σ_{j} .

따라서 단결정 소재에 대해서 기존의 후방응력 전개식을 혼합함으로 현실적 누적 소성변형의 예측이 가능할 것이며 이러한 방식은 시행착오적 기법의 한 형태라고 말할 수 있다.

예로 다결정 등방 소재의 경우( $M_{i j}^{H p} = I_{i j}, H_{i j} = H, Q_{i j} = Q, ζ_{i j} = ζ$ ), 항복함수에 대한 일치조건(consistency condition)을 적용하면:

(18)

d θ^{p} = \frac{\partial θ^{p}}{\partial σ_{i}} d σ_{i} + \frac{\partial θ^{p}}{\partial α_{i}} d α_{i} = Σ_{i} d σ_{i} - Σ_{i} (f H d ϵ_{i}^{p} - f Q α_{i} d ϵ_{e q}^{p}) - Σ_{i} (1 - f) ζ d σ_{i} = Σ_{i} d σ_{i} - f H \frac{3}{2} \frac{1}{k} \frac{Σ_{i} σ_{j}}{σ_{e q} Σ_{e q}} d σ_{j} + f Q α_{i} \frac{3}{2} \frac{1}{k} \frac{Σ_{i} σ_{j}}{σ_{e q}} d σ_{j} - Σ_{i} (1 - f) ζ d σ_{i} = 0,

여기서 $d ϵ_{e q}^{p} = \frac{d ϵ_{e q}^{p}}{d σ_{e q}} d σ_{e q} = \frac{3}{2} \frac{1}{k} \frac{σ_{k}}{σ_{e q}} d σ_{k}$ ,

일치조건을 정리하면 다음과 같으며:

(19)

1 - f H \frac{1}{k} + f Q α_{i} \frac{1}{k} \frac{Σ_{i}}{σ_{e q}} - (1 - f) ζ = 0,

따라서 $k = \frac{f}{1 - (1 - f) ζ} [H - Q α_{i} \frac{Σ_{i}}{σ_{y}}]$ 이다.

일축 하중에서 항복 조건은 $θ^{p} = | σ - α | - σ_{y} = 0$ 이므로, 따라서 인장과 압축 소성 모듈러스는:

(20)

k_{t} = \frac{f}{1 - (1 - f) ζ} (H - Q α_{i}) (인장), k_{c} = \frac{f}{1 - (1 - f) ζ} (H + Q α_{i}) (압축)이며,

위의 결과로 다음의 Armstrong-Frederick 법칙에서의 경화 계수들을 얻을 수 있다:

(21)

H = \frac{1 - (1 - f) ζ}{f} \frac{k_{t} + k_{c}}{2}, Q = \frac{1 - (1 - f) ζ}{f} \frac{k_{t} - k_{c}}{2 α_{s}}

$α_{s}$ 는 역하중(reverse loading)에서의 후방응력이나 편의상 경화가 소진된 상태에서의 최종 후방응력( $α^{u}$ : ultimate back-stress)로 대체되기도 한다. 그럼 최종 후방응력은:

${d α_{i}|}_{m} = f (H d ϵ_{i}^{p} - Q α_{i} d ϵ_{e}^{p}) + (1 - f) ζ d σ_{i} = 0$ 로부터

$α_{i}^{u} = \frac{H}{Q} \frac{d ϵ_{e}^{p}}{d ϵ_{i}^{p}} + \frac{1 - f}{f} \frac{ζ}{Q} \frac{d σ_{i}}{d ϵ_{i}^{p}}$ 이며,

$f$ =1일 때 ${(\frac{2}{3} α_{i}^{u} α_{i}^{u})}^{1 / 2} = \frac{H}{Q}$ .

이중 후방응력의 효과는 단순전단(simple shear) 시험에서 전단응력( $σ_{12}$ ) 외에 직각 응력( $σ_{22}$ )이 발생하는 Swift 현상(Fig. 1)을 통해 확인할 수 있으며 수직응력은 초기 항복응력에 대해 무차원화 되었다. 여기서 등방경화, Prager 및 이중 후방응력 전개간의 차이가 관찰되며 이중 후방응력 모델이 두 극단적인 결과 사이에 위치한다. 여기서 직각성분 응력은, 등방경화에서는 무시할 수 있으며, Prager 법칙에서는 가장 큰 절대값을 보이는 반면 이중 후방응력 모델은 그 중간에 위치한다. 따라서 간단한 전단 실험을 통해 소재의 후방응력 지배분율을 결정할 수 있다.

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Fig. 1.

Effect of hardening rules on normal stress with respect to ( $ϵ_{e q}^{p}$ ); 1) isotropic, 2) Prager and 3) Two-back stress ( $f$ =0.5, 𝜁=0.4).

더욱이 이중 후방응력 모델은 소성변형의 누적 거동 분석에서도 유용하다. Fig. 2는 지배분율( $f$ )에 따른 rachetting 거동을 보여준다. 본 결과는 점진해법(incremental solution)으로 얻었으며 관찰된 바와 같이 지배분율( $f$ )이 증가할수록 반복 하중 사이클에 따라 누적 소성변형이 증가함을 알 수 있다. 한편 높은 지배분율에서(Fig. 2 $f$ =0.9) 누적 소성변형은 반복하중에 따라 증가하다가 소성 변형율의 증가 폭이 감소함(shake-down)을 알 수 있다. 따라서 본 부폼 대신 시편에 대해 사이클 실험으로 점진해법과 비교해 적합한 지배분율을 결정할 수 있다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/jkspe/2026-030-03/N0580300305/images/kspe_2026_303_035_F2.jpg

Fig. 2.

Effect of fractional factor on ratcheting behavior: 𝜁=0.4, $σ_{a}$ =0.78 (amplitude) and $σ_{m}$ =0.20 (mean), N: # of cycles.

2.4 경화 계수 획득(back-stress evolution co.)

주어진 온도, 영율 및 변형율( $\dot{ϵ}$ ) 조건에서 일축 인장(혹은 압축) 실험을 통해 ‘z’ 방향(결장 성장 방향)의 흐름 응력곡선(flow stress curve)이 얻어진다. 이때 주어진 변수는 응력, 소성변형( $ϵ_{e q}^{p}$ )에 따른 항복강도( $k$ )이다:

주어진 변수: $σ_{3}, ϵ_{3}^{p}, k (ϵ_{e q}^{p}, T)$

미지 계수: $α_{3}, H_{11} - H_{12}, H_{44}, Q_{11} - Q_{12}, Q_{44}$ .

∘ 일축 하중 방향 [001](reference 001)

[001] 방향 일축 하중의 경우, 소성변형은 비압축성이므로 ‘3’의 하중 방향을 기준으로:

(22)

{\dot{ϵ}}_{1}^{p} = {\dot{ϵ}}_{2}^{p} = - \frac{1}{2} {\dot{ϵ}}_{3}^{p} \cdot {\dot{ϵ}}_{4}^{p} = {\dot{ϵ}}_{5}^{p} = {\dot{ϵ}}_{6}^{p} = 0, σ_{3} \neq 0, σ_{1} = σ_{2} = σ_{4} = σ_{5} = σ_{6} = 0, α_{1} = α_{2} = - \frac{1}{2} α_{3}, Σ_{i} = s_{i} - α_{i} 이므로 Σ_{1} = Σ_{2} = - \frac{1}{2} Σ_{3} 이다.

또한 $M_{11}^{H p} = M_{22}^{H p} = M_{33}^{H p}, M_{12}^{H p} = M_{21}^{H p} = M_{23}^{H p}$

$M_{11}^{H p} = M_{22}^{H p} = M_{33}^{H p}, M_{12}^{H p} = M_{21}^{H p} = M_{23}^{H p}$ 이므로 내부변수 소성 변형율( $d ϵ^{p}$ ) 전개식에서의 3 방향의 증분은:

(23)

d ϵ_{3}^{p} = λ^{p} M_{3 i}^{H p} Σ_{i} = λ^{p} (M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p}) (\frac{2}{3} σ_{3} - α_{3}) .

그럼 $Σ_{3} = s_{3} - α_{3}$ 이므로, 3 방향 후방응력은:

(24)

α_{3} = \frac{2}{3} σ_{3} - \frac{1}{λ^{p}} \frac{1}{M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p}} d ϵ_{3}^{p} .

이때 소성배수 $λ^{p}$ (multiplier of plasticity):

(25)

λ^{p} = \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} = \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}^{H p}} \frac{d σ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} (= \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}^{H p}} \frac{M_{i j}^{H p} s_{j}}{σ_{e q}^{H p} Σ_{e q}^{H p}} d s_{i}),

여기서 $d σ_{e q}^{H p} = d {(s_{i} M_{i j}^{H p} s_{j})}^{1 / 2} = \frac{M_{i j}^{H p} s_{j} d s_{i}}{σ_{e q}^{H p}}$ 이다.

Hill 계수를 이용하면 등가응력과 그 증분은:

(26)

σ_{e q}^{H p} = {(s_{i} M_{i j}^{H p} s_{j})}^{1 / 2} = \sqrt{\frac{2}{3}} {(M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p})}^{1 / 2} σ_{3} d σ_{e q}^{H p} = \frac{M_{i j}^{H p} s_{j} d s_{i}}{σ_{e q}^{H p}} = \frac{2}{3} \frac{1}{σ_{e q}^{H p}} (M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p}) σ_{3} d σ_{3} = \sqrt{\frac{2}{3}} {(M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p})}^{1 / 2} d σ_{3}, Σ_{e q}^{H p} = \sqrt{\frac{2}{3}} k, 혹은 Σ_{e q}^{H p} = \sqrt{\frac{3}{2}} {(M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p})}^{1 / 2} Σ_{3} .

마찬가지로 등가 소성 변형율은:

(27)

d ϵ_{e q}^{H p} = \sqrt{\frac{3}{2}} {(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2} |d ϵ_{3}^{p}| .

소성 흐름 곡선(flow-stress / 𝜎-𝜖 curve)과의 상관성을 얻기 위해 다음의 과정이 적용된다:

(28)

\frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}^{H p}} = \frac{9}{2 \sqrt{2}} {(M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p})}^{- 1} \frac{d ϵ_{3}^{p}}{d σ_{3}} .

여기서 일축 하중 실험 결과를 대입하면:

(29)

\frac{d ϵ_{3}^{p}}{d σ_{3}} = \frac{d ϵ_{3} - d ϵ_{3}^{e}}{d σ_{3}} = \frac{1}{E^{t}} - \frac{1}{E} = \frac{E_{33} - E_{33}^{t}}{E_{33} E_{33}^{t}},

여기서 $E_{33} & E_{33}^{t} (= E_{⟨ 001 ⟩})$ 는 각각 3 방향의 탄성 계수와 𝜎-𝜖 곡선의 접선(tangential) 모듈러스이다. 따라서 소성 배수 $λ^{p}$ 는 아래와 같다:

(30)

λ^{p} = \frac{3}{2} \frac{1}{k} \frac{E_{33} - E_{33}^{t}}{E_{33} E_{33}^{t}} {(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2} d σ_{3} .

이를 소성변형율 전개에 대입하면 후방응력은:

(31)

d ϵ_{3}^{p} = \frac{3}{2} \frac{1}{k} \frac{E_{33} - E_{33}^{t}}{E_{33} E_{33}^{t}} {(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2} (M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p}) Σ_{3} d σ_{3} α_{3} = \frac{2}{3} σ_{3} - \frac{2}{3} k \frac{E E^{t}}{E - E^{t}} \frac{{(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{- 1 / 2}}{(M_{33}^{H p} - M_{31}^{H p})} \frac{Δ ϵ_{3}^{p}}{Δ σ_{3}}

또한 일축 인장( $d ϵ_{3}^{p} \geq 0$ ) 실험에서 후방응력은 아래의 과정을 이용해 얻을 수 있다:

(32)

d α_{3} = H_{3 i} d ϵ_{i}^{p} - Q_{3 i} α_{i} d ϵ_{e q}^{H p} d α_{3} = (H_{33} - H_{31}) d ϵ_{3}^{p} - (Q_{33} - Q_{31}) α_{3} d ϵ_{e q}^{H p} = (H_{33} - H_{31}) d ϵ_{3}^{p} - \sqrt{\frac{3}{2}} (Q_{33} - Q_{31}) {(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2} d ϵ_{3}^{p} α_{3}

그러므로 ‘3’ 방향 후방응력은:

(33)

α_{3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{1}{{(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2}} \frac{H_{33} - H_{31}}{Q_{33} - Q_{31}} \times (1 - \exp [- \sqrt{\frac{3}{2}} (Q_{33} - Q_{31}) {(M_{33}^{H p - 1} - M_{31}^{H p - 1})}^{1 / 2} ϵ_{3}^{p}]) .

∘ 일축 하중 방향 [111](reference 111)

단결정의 [111] 방향으로 하중이 적용된 경우, 주조품에서의 Hill 계수( $M_{i j}^{' H p}$ )는 다음과 같으며 이때 [111]과 [001] 방향에서의 Hill 계수와의 관계는 아래와 같이 정리된다[23]:

(34)

{M M_{i j}^{H p}|}_{[111]} = [\begin{matrix} M_{11}^{' H p} & M_{12}^{' H p} & M_{13}^{' H p} & 0 & M_{15}^{' H p} & 0 \\ M_{12}^{' H p} & M_{11}^{' H p} & M_{13}^{' H p} & 0 & - M_{15}^{' H p} & 0 \\ M_{13}^{' H p} & M_{13}^{' H p} & M_{33}^{' H p} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M_{44}^{' H p} & 0 & - M_{15}^{' H p} \\ M_{15}^{' H p} & - M_{15}^{' H p} & 0 & 0 & M_{44}^{' H p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - M_{15}^{' H p} & 0 & M_{66}^{' H p} \end{matrix}], M_{11}^{H p^{'}} = \frac{1}{2} (M_{11}^{H p} + M_{12}^{H p} + 2 M_{44}^{H p}), M_{12}^{H p^{'}} = \frac{1}{6} (M_{11}^{H p} + 5 M_{12}^{H p} - 2 M_{44}^{H p}), M_{13}^{H p^{'}} = \frac{1}{3} (M_{11}^{H p} + 2 M_{12}^{H p} - 2 M_{44}^{H p}), M_{15}^{H p^{'}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} (M_{11}^{H p} - M_{12}^{H p} - 2 M_{44}^{H p}), M_{33}^{H p^{'}} = \frac{1}{3} (M_{11}^{H p} + 2 M_{12}^{H p} + 4 M_{44}^{H p}), M_{44}^{H p^{'}} = \frac{1}{3} (M_{11}^{H p} - M_{12}^{H p} + M_{44}^{H p}), M_{66}^{'} = \frac{1}{6} (M_{11} - M_{12} + 4 M_{44}) .

주조품 [111] 방향의 3 방향의 소성 변형율은:

(35)

d ϵ_{3}^{p} = λ^{p} M_{3 i}^{H p} Σ_{i} = λ^{p} 2 M_{44}^{H p} [\frac{2}{3} σ_{3} - α_{3}] = λ^{p} 2 M_{44}^{H p} Σ_{3} .

여기서 아래의 관계가 적용되었다:

(36)

- M_{13}^{' H p} + M_{33}^{' H p} = 2 M_{44}^{H p} .

따라서 등가 소성변형율 증분은:

(37)

d ϵ_{e q}^{H p} = {(d ϵ_{i}^{p} M_{i j}^{H p - 1} d ϵ_{j})}^{1 / 2} = {(M_{123}^{' H p - 1})}^{1 / 2} d ϵ_{3}^{p},

여기서

$(M_{123}^{' H p - 1}) : = (\frac{1}{2} M_{11}^{' H p - 1} + \frac{1}{2} M_{12}^{' H p - 1} - 2 M_{31}^{' H p - 1} + M_{33}^{' H p - 1})$ .

아울러 이때 등가응력 증분과 유효 등가응력은:

(38)

d σ_{e q}^{H p} = \frac{2}{\sqrt{3}} {(M_{44}^{H p})}^{1 / 2} d σ_{3} Σ_{e q}^{H p} = {(Σ_{i} M_{i j}^{' H p} Σ_{j})}^{1 / 2} = \sqrt{3} {(M_{44}^{H p})}^{1 / 2} Σ_{3} = \sqrt{3} {(M_{44}^{H p})}^{1 / 2} (\frac{2}{3} σ_{3} - α_{3}) .

이 경우 소성 배수 $λ^{p}$ 는:

$λ^{p} = \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}^{H p}} \frac{d σ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{1}{k} \frac{E - E_{t}}{E E_{t}} {(M_{123}^{' H p - 1})}^{1 / 2} d σ_{3}$ .

결과적으로 주어진 소성변형 증분으로부터 아래의 후방응력을 얻을 수 있다:

(39)

α_{3} = \frac{2}{3} σ_{3} - \sqrt{\frac{2}{3}} k \frac{E E_{t}}{E - E_{t}} \frac{1}{{(M_{123}^{' H p - 1})}^{1 / 2}} \frac{1}{2 M_{44}^{H p}} \frac{d ϵ_{3}^{p}}{d σ_{3}} .

한편 이동경화 전개식은 아래의 변환식을 이용해 후방응력을 얻는다:

(40)

{H_{i j}^{H p}|}_{[111]} = [\begin{matrix} H_{11}^{' H p} & H_{12}^{' H p} & H_{13}^{' H p} & 0 & H_{15}^{' H p} & 0 \\ H_{12}^{H p} & H_{11}^{' H p} & H_{13}^{' H p} & 0 & - H_{15}^{' H p} & 0 \\ H_{13}^{' H p} & H_{13}^{' H p} & H_{33}^{' H p} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & H_{44}^{' H p} & 0 & - H_{15}^{' H p} \\ H_{15}^{' H p} - & H_{15}^{' H p} & 0 & 0 & H_{44}^{' H p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - H_{15}^{' H p} & 0 & H_{66}^{' H p} \end{matrix}], - H_{13}^{'} + H_{33}^{'} = 2 H_{44},

마찬가지로 $- Q_{13}^{'} + Q_{33}^{'} = 2 Q_{44}$ . 그럼

(41)

d α_{3} = H_{3 i}^{'} d ϵ_{i}^{p} - Q_{3 i}^{'} α_{i} d ϵ_{e q}^{H p} = 2 H_{44} d ϵ_{3}^{p} - 2 Q_{44} α_{3} d ϵ_{e q}^{H p} = [2 H_{44} - 2 Q_{44} {(M_{123}^{' H p} - 1)}^{1 / 2} α_{3}] d ϵ_{3}^{p} α_{3} = \frac{1}{{(M_{123}^{' H p} - 1)}^{1 / 2}} \frac{H_{44}}{Q_{44}} (1 - \exp [- 2 Q_{44} {(M_{123}^{' H p} - 1)}^{1 / 2} ϵ_{3}^{p}])

따라서 후방응력( $α_{3}$ )과 이동경화 전개식의 경화계수( $H_{33} - H_{31}, H_{44}, Q_{33} - Q_{31}, Q_{44}$ )들은 앞에 언급된 수식들을 이용해 얻을 수 있다. 그러므로 단결정 주조품에서의 이동경화 특성은 [001]과 [111] 방향으로의 주조된 시편에 대한 일축 하중 실험만이 요구된다.

2.5 크리프 변형 거동

크리프 변형( $d ϵ^{c r}$ )은 Fig. 3 같이 일반적으로 1^st(primary: time dependent), 2^nd(secondary: time independent) 및 3^rd(tertiary: time dependent)의 3단계로 구분된다.

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Fig. 3.

A general creep curve depicting 1^st and 2^nd steps creep flow(red line: piece-wise linearization of primary creep)[4].

3단계 creep에 도달하기 전 이미 블레이드 마 베인의 교체 주기가 도래하므로 Fig. 3에서 3 단계 크리프는 생략되었다. 만약 1st 단계 크리프도 구간별 선형화(piecewise linearization: 붉은 선)을 적용한다면 시간 변수에 상관없이 크리프 거동은 2단계와 마찬가지로 응력과 온도만의 함수로 표현될 수 있다( ${\dot{ϵ}}^{c r} = {\dot{ϵ}}^{c r} (σ, T, t) \to {\dot{ϵ}}_{e q}^{c r} = {\dot{ϵ}}_{e q}^{c r} (σ_{e q}, T)$ )[4]. 그러면 소성변형과의 통합이 가능하므로 통합 탄소성-크리프 응력율-변형율 구성방정식으로 통합할 수 있을 것이다.

소성변형과 마찬가지로 크리프 거동도 항복함수와 유사한 함수로 표현되며 단지 크리프 변형에 따른 경화 현상이 없다. 또한 크리프 포텐셜(potential)은 크리프 함수로 대체될 수 있다:

(42)

Ω^{c r} = θ^{c r} = \frac{1}{2} s_{i} m_{i j}^{h c} s_{j} - \frac{1}{3} k^{c r 2} = 0,

여기서 $m_{i j}^{c r} = [\begin{matrix} g + h & - h & - g & 0 & 0 & 0 \\ - h & f + h & - f & 0 & 0 & 0 \\ - g & - f & f + g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 l & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 m \end{matrix}]$ .

단결정의 경우, Hill 계수의 각 성분은:

(43)

f = g = h = \frac{1}{2}, l = m = n = \frac{3}{2} ξ_{S X}^{2},

$ξ_{S X} = \frac{{\dot{ϵ}}_{[111]}}{{\dot{ϵ}}_{[100]}} < 1$ , 여기서 $ξ_{S X}$ 는 <001>과 <111>방향의 크리프 변형율의 비율이다. 따라서 유사한 직각조건을 적용하면 크리프 변형율은:

(44)

d ϵ_{i}^{c r} = λ^{c r} \frac{\partial θ^{c r}}{\partial σ_{i}} = λ^{c r} m_{i j}^{h c} s_{j} (\propto s_{i}) .

또한 $d ϵ_{i}^{c r} m_{i j}^{c r - 1} d ϵ_{j}^{c r} = λ^{c r 2} s_{i} m_{i k}^{c r} s_{k}$ 이므로 등가 변수들은 다음과 같이 정의되었다:

$σ_{e q}^{h c} \equiv {(s_{i} m_{i j}^{c r} s_{j})}^{1 / 2}, d ϵ_{e q}^{h c} \equiv {(d ϵ_{i}^{c r} m_{i j}^{c r - 1} d ϵ_{j}^{c r})}^{1 / 2}$ ,

그 결과 $λ^{c r} = \frac{d ϵ_{e q}^{h c}}{σ_{e q}^{h c}}$ 이며, $d ϵ_{i}^{c r} = d ϵ_{e q}^{h c r} m_{i j}^{c r} \frac{s_{j}}{σ_{e q}^{h c}}$ 으로 나타낼 수 있다.

∘ 일축 하중 방향 [001](reference 001)

소성변형과 마찬가지로 ‘3’ 방향 일축 하중 조건과 Hill 계수의 관계는 아래로 정리된다:

(45)

σ_{3} \neq 0, σ_{1} = σ_{2} = σ_{4} = σ_{5} = σ_{6} = 0, s_{1} = s_{2} = - \frac{1}{3} σ_{3}, s_{3} = \frac{2}{3} σ_{3}, s_{1} = s_{2} = - \frac{1}{2} s_{3}, d ϵ_{1}^{c r} = d ϵ_{2}^{c r} = - \frac{1}{2} d ϵ_{3}^{c r}, d ϵ_{4}^{c r} = d ϵ_{5}^{c r} = d ϵ_{6}^{c r} = 0,

(46)

m_{11}^{h c} = m_{22}^{h c} = m_{33}^{h c} m_{12}^{h c} = m_{21}^{h c} = m_{23}^{h c} = m_{32}^{h c} = m_{13}^{h c} = m_{31}^{h c} .

그럼 3 방향의 크리프 변형율은:

$d ϵ_{3}^{c r} = λ^{c r} m_{3 i}^{h c} s_{i} = λ^{c r} (m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c}) s_{3}$ 이며 크리프에서의 등가 응력과 등가 크리프 변형율은:

(47)

σ_{e q}^{h c} = \sqrt{2 / 3} {(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2} σ_{3} d ϵ_{e q}^{h c} = \sqrt{3 / 2} {(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2} |d ϵ_{3}^{c r}| .

따라서 크리프 배수(multiplier of creep)은:

$λ^{c r} = \frac{3}{2} \frac{{(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2}} \frac{d ϵ_{3}^{c r}}{σ_{3}}$ .

여기서 $C_{s [001]}^{c r} \equiv (d ϵ_{3}^{c r}) / (σ_{3 [001]})$ 로 정의하면, 이는 다음의 Fig. 4에서 보는 바와 같이 소재 고유의 크리프 물성을 나타낸다.

이를 활용하면 크리프 흐름은:

(48)

d ϵ_{3}^{c r} = C_{s ([001])}^{c r} {(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2} \times {(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2} σ_{3} .

∘ 일축 하중 방향 [111](reference 111)

이 경우 ‘3’ 방향 일축 하중에 대한 크리프 변형율 전개식은:

(49)

d ϵ_{3}^{c r} = λ^{c r} m_{3 i}^{' h c} s_{i} = λ^{c r} (m_{33}^{' h c} - m_{31}^{' h c}) s_{3}, d ϵ_{3}^{c r} = λ^{c r} 2 m_{44}^{h c} s_{3} .

또한 등가 creep 변형율 및 등가 응력은:

(50)

d ϵ_{e q}^{h c} = {(d ϵ_{i}^{c r} m_{i j}^{h c - 1} d ϵ_{j}^{c r})}^{1 / 2} = {(m_{123}^{h c - 1})}^{1 / 2} d ϵ_{3}^{c r},

여기서

(51)

m_{123}^{h c - 1} \equiv (\frac{1}{2} m_{11}^{h c - 1} + \frac{1}{2} m_{12}^{h c - 1} - 2 m_{31}^{h c - 1} + m_{33}^{h c - 1}), σ_{e q}^{h c} = {(s_{i} m_{i j}^{' h c} s_{j})}^{1 / 2} = {(3 m_{44}^{h c})}^{1 / 2} s_{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} {(m_{44}^{h c})}^{1 / 2} σ_{3} .

그러면 [111] 주조품의 크리프 흐름의 배수 $λ^{c r}$ (multiplier of creep)은 다음과 같다:

(52)

λ^{c r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{{(m_{123}^{' h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{44}^{h c})}^{1 / 2}} C_{s [11]}^{c r},

$C_{s [111]}^{c r} \equiv \frac{d ϵ_{3}^{c r}}{σ_{3 [111]}}$ 는 [111]방향 주조품의 크리프 물질상수이다. 따라서 3 방향의 크리프 변형율은:

(53)

d ϵ_{3}^{c r} = \frac{2}{\sqrt{3}} C_{s [111]}^{c r} {(m_{123}^{' h c - 1})}^{1 / 2} {(m_{44}^{h c})}^{1 / 2} σ_{3} .

3. 구성 방정식

전체 변형율은 탄성, 소성(피로) 누적과 크리프의 비선형 변형율의 합계라고 볼 수 있으며 응력과 변형율 관계는 콤플라이언스(compliance)와 역전식(inverse)식으로의 표현이 가능하다:

(54)

d ϵ_{i} = d ϵ_{i}^{e} + d ϵ_{i}^{p} + d ϵ_{i}^{c r} = E_{i j}^{- 1} d σ_{j} + λ^{p} M_{i j}^{H p} Σ_{j} + λ^{c r} m_{i j}^{h c} s_{j} . (\propto d σ_{j}) (\propto Σ_{j}) (\propto s_{j})

여기서 탄성변형( $d ϵ^{e}$ ), 소성 변형( $d ϵ^{p}$ )과 크리프 변형( $d ϵ^{c r}$ ) 증분들은 각각 응력 증분( $d σ$ ), 유효응력( $Σ$ )과 정압의 효과를 배제한 응력 디븨아터(deviator, $s_{i j}$ ) 비례한다. 따라서 직관적으로 단순한 역전식을 적용하기는 어렵다. 다시 전체 변형 증분은 달리 아래의 식과 같이 표현될 수 있다:

(55)

d ϵ_{i} = E_{i j}^{- 1} d σ_{j} + \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{Σ_{e q}^{H p}} M_{i j}^{p} Σ_{j} + \frac{d ϵ_{e q}^{h c}}{σ_{e q}^{h c r}} m_{i j}^{h c} s_{j} = E_{i j}^{- 1} d σ_{j} + \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}} M_{i j}^{H p} \frac{Σ_{j}}{Σ_{e q}^{H p}} d σ_{e q} + \frac{d ϵ_{e q}^{h c}}{d σ_{e}} m_{i j}^{c r} \frac{s_{j}}{σ_{e q}^{h c}} d σ_{e q} = E_{i j}^{- 1} d σ_{j} + \frac{3}{2} \frac{d ϵ_{e q}^{H p}}{d σ_{e q}} M_{i j}^{H p} \frac{Σ_{j}}{Σ_{e q}^{H p}} \frac{s_{k}}{σ_{e q}} d s_{k} + \frac{3}{2} \frac{d ϵ_{e q}^{h c}}{d σ_{e q}} m_{i j}^{h c} \frac{s_{j}}{σ_{e q}^{h c}} \frac{s_{k}}{σ_{e q}} d s_{k} .

$d s_{i} = d σ_{i} - \frac{1}{3} δ_{i} σ_{b u l k}$ ,

$δ_{i} = 1 (i = 1, 2, 3), δ_{i} = 0 (i = 4, 5, 6)$ .

위의 식을 다른 형태로 표현하면:

(56)

d σ_{i} = {(E_{i j}^{- 1} + S_{i j}^{p - 1} + S_{i j}^{c r - 1})}^{- 1} d ϵ_{j} = L_{i j} d ϵ_{j} .

3.1 피로, 크리프 구성방정식

∘ 연속체 결함(continuum damage)

실제 소성-크림 비선형 변형거동 분석을 위해서 응력율-변형율 관계식에 결함의 전개에 따른 물성 저하도 포함되는 것이 바람직하다. 무결함 상태 유효(effective damage-free) 응력/변형율에 대한 명목항(nominal)들과의 관계는 이방성을 고려할 때 내부변수 연속체 결함 인자(𝜙: continuum damage factor)[28,29]를 이용하면:

(57)

{\bar{σ}}_{i j} = M_{i j k l} σ_{k l} {\bar{ϵ}}_{i j} = M_{i j k l}^{- 1} ϵ_{k l}, M_{i j k l} = 2 {[(δ_{i k} - ϕ_{i k}) δ_{j l} + δ_{i k} (δ_{j l} - ϕ_{j l})]}^{- 1} .

하지만 이방성 연속체 결함 인자를 획득하는 것은 어렵고 복잡한 실험이 요구되므로, 실제 스칼라 결함 인자가 사용되는 것이 편리하다.

한편 연속체 결함 인자는 점진적인 물성 저하를 유발하는 크랰(crack), 미세 기공(porosity) 및 부분적 계면 분리 등을 포괄적으로 나타내는 것이 가능하며, 가상의 유효( $\bar{A}$ ), 명목적 면적( $A$ )의 관계를 이용 다음의 관계를 얻는다:

(58)

ϕ = \frac{A - \bar{A}}{A}, {\bar{σ}}_{i j} = \frac{σ_{i j}}{1 - ϕ}, {\bar{ϵ}}_{i j} = (1 - ϕ) ϵ_{i j},

여기서 $A$ 는 내부 결함을 포함한 전체 표면적이다. 그럼 응력-변형 관계는:

(59)

{\bar{σ}}_{i} = {\bar{E}}_{i j}^{- e} ϵ_{j} \to \frac{1}{1 - ϕ} σ_{i} = {\bar{E}}_{i j} (1 - ϕ) {\bar{ϵ}}_{j}, E_{i j} = {\bar{E}}_{i j} (1 - ϕ)^{2} 이며,

또한 결함인자 전개에 따른 응력율은:

(60)

d σ_{i} = (1 - ϕ) d {\bar{σ}}_{i} - d ϕ \cdot {\bar{σ}}_{i} .

연속체 결함도 그 제공되는 각 원인에 따라 다음과 같이 합계로 나타낼 수 있다[14]:

(61)

d ϕ = d ϕ^{p} + d ϕ^{f a t .} + d ϕ^{c r} ϕ = \int d ϕ = \int d ϕ^{p} + d ϕ^{c r} + d ϕ^{f a t} .

한편 결함 인자는 전통적인 Kachanov의 전개식으로 표현될 수 있다[31].

∘ 소성 변형

단결정 소재의 이중 후방응력 모델을 적용한 소성변형 분석을 위한 결정학적 방향 기준( $A^{*}$ ), 소성배수( $λ^{p}$ )의 도출을 위해 다음과 같이 항복함수, 직각조건 및 일치조건이 요구되며 변수들을 무결함 상태의 유효항들로 표현하면:

(62)

{\bar{θ}}^{p} = \frac{1}{2} ({\bar{Σ}}_{i}^{*} M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*}) - \frac{1}{3} {\bar{k}}^{2} (yield function) = \frac{1}{2} (A_{i k} {\bar{Σ}}_{k} M_{i j}^{H p} A_{j l} {\bar{Σ}}_{l}) - \frac{1}{3} {\bar{k}}^{2} = 0,

(63)

d {\bar{ϵ}}_{i}^{* p} = {\bar{λ}}^{p} M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j, (normality condition)}^{*} 혹은 d {\bar{ϵ}}_{i}^{* p} = B_{i l} d {\bar{ϵ}}_{l}^{p} = {\bar{λ}}^{p} M_{i k}^{p} A_{k j} {\bar{Σ}}_{j,} d {\bar{α}}_{i}^{* (A F)} = {\bar{H}}_{i j} d {\bar{ϵ}}_{j}^{* p} - {\bar{Q}}_{i j} {\bar{α}}_{j}^{*} d {\bar{ϵ}}_{e q}^{H p}, d {\bar{α}}_{i}^{* (P H)} = {\bar{ζ}}_{i j} d {\bar{σ}}_{j,}^{*} d {\bar{α}}_{i}^{*} = f ({\bar{H}}_{i j} d {\bar{ϵ}}_{j}^{* p} - {\bar{Q}}_{i j} {\bar{α}}_{j}^{*} d {\bar{ϵ}}_{e q}^{H p}) + (1 - f) {\bar{ζ}}_{l j} d {\bar{σ}}_{j}^{*} . . d {\bar{θ}}^{p} = \frac{\partial {\bar{θ}}^{p}}{\partial {\bar{σ}}_{i}^{*}} d {\bar{σ}}_{i}^{*} + \frac{\partial {\bar{θ}}^{p}}{\partial {\bar{α}}_{i}^{*}} d {\bar{α}}_{i}^{*} (consistency condition) = M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} d {\bar{σ}}_{i}^{*} - M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} d {\bar{α}}_{i}^{*} = M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} d {\bar{σ}}_{i}^{*} - M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} [f d {\bar{α}}_{i}^{* (A F)} + (1 - f) d {\bar{α}}_{i}^{* (P H)}] = M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} d {\bar{σ}}_{i}^{*} - M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} [f {\bar{H}}_{i k}^{*} d {\bar{ϵ}}_{k}^{* p} - f {\bar{Q}}_{i k}^{*} {\bar{α}}_{k}^{*} d {\bar{ϵ}}_{e q}^{H p} + (1 - f) {\bar{ζ}}_{i k}^{*} d {\bar{σ}}_{k}^{*}] = M_{i j}^{H p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} [δ_{i k} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{i k}^{*}] {\bar{E}}_{k l}^{*} d {\bar{ϵ}}_{l}^{*} - {\bar{λ}}^{p} [δ_{i k} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{i k}^{*}] M_{i j}^{H p} {\bar{E}}_{k l}^{*} {\bar{Σ}}_{j}^{*} M_{l m}^{H p} {\bar{Σ}}_{m^{*}}^{*} - {\bar{λ}}^{p} f M_{i j}^{p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} {\bar{H}}_{i k}^{*} M_{k m}^{p} {\bar{Σ}}_{m}^{*} + {\bar{λ}}^{p} f M_{i j}^{p} {\bar{Σ}}_{j}^{*} {\bar{Q}}_{i k}^{*} {\bar{α}}_{k}^{*} {\bar{Σ}}_{e q}^{H p} .

따라서 소성 배수 ${\bar{λ}}^{p}$ 는:

(64)

{\bar{λ}}^{p} = \frac{[δ_{t v} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{t v}^{*}] {\bar{E}}_{t u}^{*} M_{v w}^{H p} {\bar{Σ}}_{u}^{*}}{B} d {\bar{ϵ}}_{w}^{*},

여기서, $B : = [δ_{p r} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{p r}^{*}] M_{p q}^{H p} {\bar{E}}_{r s}^{*} {\bar{Σ}}_{q}^{*} M_{s z}^{H p} {\bar{Σ}}_{z}^{*}$

$+ f M_{p q}^{H p} {\bar{Σ}}_{q}^{*} {\bar{H}}_{p r}^{*} M_{r s}^{H p} {\bar{Σ}}_{s}^{*} - f M_{p q}^{H p} {\bar{Σ}}_{q}^{*} {\bar{Q}}_{p r}^{*} {\bar{α}}_{r}^{*} {\bar{Σ}}_{e q}^{H p}$ .

그럼 결정학적 방향을 기준으로 소성변형에 대한 응력율-변형율 관계식은:

(65)

d {\bar{σ}}_{i}^{*} = {\bar{E}}_{i j}^{*} d {\bar{ϵ}}_{j}^{*} = {\bar{E}}_{i j}^{*} (d {\bar{ϵ}}_{j}^{*} - d {\bar{ϵ}}_{j}^{*}) = {\bar{E}}_{i j}^{*} d {\bar{ϵ}}_{j}^{*} - {\bar{λ}}^{p} {\bar{E}}_{i j}^{*} M_{j k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k}^{*} 이므로, d {\bar{σ}}_{i}^{*} = {\bar{L}}_{i j}^{*} d {\bar{ϵ}}_{j}^{*},

여기서

${\bar{L}}_{i j}^{*} = {\bar{E}}_{i j}^{*} - \frac{[δ_{t v} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{t v}^{*}] {\bar{E}}_{i w}^{*} M_{w k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k}^{*} {\bar{E}}_{t u}^{*} M_{v j}^{H p} {\bar{Σ}}_{u}^{*}}{B}$ ,

한편 하중 방향을 기준으로 구성방정식은:

(66)

A_{i k} d {\bar{σ}}_{k} = {\bar{L}}_{i j}^{*} B_{j l} d {\bar{ϵ}}_{l} 이므로, d {\bar{σ}}_{i} = A_{i k}^{- 1} {\bar{L}}_{k l}^{*} B_{l j} d {\bar{ϵ}}_{j},

여기서 ${\bar{L}}_{i j} = A_{i k}^{- 1} {\bar{L}}_{k l}^{*} B_{l j}$ . 앞서 언급되었듯이 $A_{i j}$ 와 $B_{i j}$ 는 결정학적 방향과 하중 방향에 대한 좌표 변환 메트릭스이다.

만약 고온에서 변형율이 증가함에 따라 소성연화(flow softening, $d σ \leq 0$ )가 발생한다면 Drucker의 전제(postulate: $d σ_{i} d ϵ_{i}^{p} \geq 0$ )에 의해 탄소성 구성방정식 적용이 불가능하다. 따라서 다음과 같이 강소성(rigid plasticity)를 이용하는 방법이 있으며, 이 경우 소성 배수는:

(67)

λ^{p} = \frac{[δ_{i k} - (1 - f) ζ_{i k}] M_{i j}^{p} Σ_{j}^{*}}{f M_{p q}^{p} Σ_{q}^{*} H_{p r}^{*} M_{r s}^{p} Σ_{s}^{*} - f M_{p q}^{p} Σ_{q}^{*} Q_{p r}^{*} α_{r}^{*} Σ_{e q}^{H p}} d σ_{i}^{*}

그럼 응력율-변형율 구성방정식은:

$d σ_{i} = {[\frac{[δ_{x k} - (1 - f) ζ_{x k}] M_{k l}^{p} A_{l b} Σ_{b} M_{y m}^{p} A_{m c} Σ_{c}}{f M_{p q}^{p} A_{q t} Σ_{t} H_{p r}^{*} M_{r s}^{p} A_{s u} Σ_{u} - f M_{p q}^{p} A_{q t} Σ_{t} Q_{p r}^{*} A_{r u} α_{u} Σ_{e q}^{H p}}]}^{- 1} \times A_{x i}^{- 1} B_{y j} d ϵ_{j}$ . (30)

여기서 결함 인자를 포함하는 유효항 표시는 편이를 위해 생략되었다.

∘ 크리프 변형

일반적인 탄소성 FEM 코드에서는 기본 변수는 변위 증분(displacement increment)이므로 전체 변형율( $d ϵ$ : total strain) 증분을 이용 구성방정식을 표현하는 것이 바람직하다. 이를 고려하면 크리프 변형율( $d {\bar{ϵ}}_{i}^{c r}$ )은:

(68)

d {\bar{ϵ}}_{i}^{* r} = {\bar{λ}}^{c r} m_{i j}^{h c} s_{j}^{*} = \frac{d \bar{ϵ_{e q}}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c}} m_{i j}^{h c} s_{j}^{*},

여기서 $d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c r} = {\bar{λ}}^{c r - h c r} σ_{e q}^{h c r}$ 이므로 ${\bar{λ}}^{c r} = \frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c}}$ ,

(69)

\frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c}} m_{i j}^{h c {\bar{s}}_{j}^{*}} = \frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c}}{d {\bar{ϵ}}_{e q}} \frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c}} m_{i j}^{h c {\bar{s}}_{j}^{*}}, ϵ_{e q} = {(\frac{2}{3} ϵ_{i} ϵ_{i})}^{1 / 2} \to d ϵ_{e q} = \frac{2}{3} \frac{ϵ_{k} d ϵ_{k}}{ϵ_{e q}}, ∴ d {\bar{ϵ}}_{i}^{c r^{*}} = \frac{2}{3} \frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c}} \frac{{\bar{ϵ}}_{j}^{*}}{{\bar{ϵ}}_{e q}} m_{i k}^{h c} \frac{{\bar{s}}_{k}^{*}}{d {\bar{ϵ}}_{e q}} d {\bar{ϵ}}_{j}^{*} .

마찬가지로 모든 변수는 연속체 결함을 고려해 유효항( $\bar{A}$ : damage-free effective term)으로 표현되었다. 따라서 크리프 배수는:

(70)

{\bar{λ}}^{c r} = \frac{2}{3} \frac{d {\bar{ϵ}}_{e q}^{h c}}{{\bar{σ}}_{e q}^{h c r}} \frac{{\bar{ϵ}}_{j}^{*}}{{\bar{ϵ}}_{e} d {\bar{ϵ}}_{e}} d {\bar{ϵ}}_{j}^{*} .

한편 ‘3’ 방향 일축 하중에 대한 크리프 거동에서의 등가 변형율 및 등가 응력은:

(71)

d ϵ_{e q}^{h c} = \sqrt{\frac{3}{2}} {(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2} |d ϵ_{3}^{c r}|, σ_{e q}^{h c} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} {(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2} σ_{3} .

그럼 크리프 배수는:

(72)

{\bar{λ}}^{c r} = {\bar{C}}_{s}^{r r} \frac{{(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2}} \frac{{\bar{ϵ}}_{w}^{*} d {\bar{ϵ}}_{w}^{*}}{{\bar{ϵ}}_{e q} d {\bar{ϵ}}_{e q}} .

결과적으로 크리프 변형율은:

(73)

d ϵ_{j}^{c r^{*}} = {\bar{C}}_{s (u n i)}^{r r} \frac{{(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2}} \frac{{\bar{ϵ}}_{w}^{*}}{{\bar{ϵ}}_{e q} d {\bar{ϵ}}_{e q}} m_{j k}^{h c^{- *}} s_{k}^{*} d {\bar{ϵ}}_{w}^{*} C_{s [u n i]}^{c r} \equiv (d ϵ_{3}^{c r}) / (σ_{3 [u n i]}) . [uni] : 일축 방향 크리프 하중

3.2 피로-크리프 통합 구성방정식

여기서는 변형율 독립 피로-크리프 통합 구성방정식를 얻기 위해 다음 가정들이 설정되었다.

- 단결정의 소성 및 크리프 관련 내부변수들의 전개는 현상학적 이론에 기반

-혼합 이중 이동경화(combined two-back stress kinematic hardening model: Armstrong-Frederick & Phillips back-stress evolution) 기반 피로 거동

- 크리프 변형은 응력과 온도의 함수

-내부변수 연속체 결함 인자를 내포한 유효변수(damage-free effective)들로 표현

앞서 전체 변형율(혹은 증분: $d ϵ$ )은 다음에서 보는 바와 같이 탄성, 소성, creep 변형으로 분해되며 응력율-변형율 관계식은:

(74)

d {\bar{σ}}_{i} = {\bar{E}}_{i j} d {\bar{ϵ}}_{j}^{e} = {\bar{E}}_{i j} (d {\bar{ϵ}}_{j} - d {\bar{ϵ}}_{j}^{p} - d {\bar{ϵ}}_{j}^{c r}) = {\bar{E}}_{i j} (d {\bar{ϵ}}_{j} - {\bar{λ}}^{p} M_{j k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k} - {\bar{λ}}^{c r} m_{j k}^{h c} {\bar{s}}_{k}) 이며, d {\bar{ϵ}}_{j}^{p} = {\bar{λ}}^{p} M_{j k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k} = \frac{[δ_{t v} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{t v}] {\bar{E}}_{t u} M_{v w}^{H p} {\bar{Σ}}_{u} M_{j k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k}}{B} d {\bar{ϵ}}_{u}, B : = [δ_{p r} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{p r}] M_{p q}^{H p} {\bar{E}}_{r s} {\bar{Σ}}_{q} M_{s z}^{H p} {\bar{Σ}}_{z^{u}} + f M_{p q}^{H p} {\bar{Σ}}_{q} {\bar{H}}_{p r} M_{r s}^{H p} {\bar{Σ}}_{s} - f M_{p q}^{H p} {\bar{Σ}}_{q} {\bar{Q}}_{p r} {\bar{α}}_{r} {\bar{Σ}}_{e q}^{H p}, d ϵ_{i}^{c r} = C_{s (u n i)}^{c r} \frac{{(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2}} \frac{ϵ_{j}}{ϵ_{e q} d ϵ_{e q}} m_{i k}^{h c} s_{k} d ϵ_{j},

그러므로 위의 두 가지의 소성과 creep 변형을 통합하면 아래와 같이 소성-크리프 통합 구성방정식을 얻는다:

$d {\bar{σ}}_{i} = [{\bar{E}}_{i j} - Λ^{p} \frac{[δ_{t v} - (1 - f) {\bar{ζ}}_{t v}] {\bar{E}}_{i w} M_{w k}^{H p} {\bar{Σ}}_{k} {\bar{E}}_{t u} M_{v j}^{H p} {\bar{Σ}}_{u}}{B} - Λ^{c r} {\bar{E}}_{i l} C_{s (u n i)}^{c r} \frac{{(m_{33}^{h c - 1} - m_{31}^{h c - 1})}^{1 / 2}}{{(m_{33}^{h c} - m_{31}^{h c})}^{1 / 2}} \frac{ϵ_{l}}{ϵ_{e q} d ϵ_{e q}} m_{j k}^{h c} s_{k}] d {\bar{ϵ}}_{j}$

$Λ^{p} = 1, Λ^{c r} = 1$ (active plasticity, creep)

$Λ^{p} = 0, Λ^{c r} = 0$ (no plastic, creep deformation).

본 구성방정식은 터빈 블레이드뿐만 아니라 길고 얇은 팬(fan) 부품에도 적용이 확대될 수 있으므로 이때 대변형을 고려한 기하학적 비선형도 고려되어야 한다. 하지만 코너(corner) 이론을 포함한 이동경화의 경우 후방응력 전개에 따른 응력 반응에 진동(oscillation) 현상이 발생하므로 이를 해소하기 위한 다소 변형된 형태의 객관적 응력율(objective 혹은 frame indifferent stress rate)을 적용할 필요가 있으며 이를 응력율과 후방응력율에 적용하면:

(75)

{\hat{σ}}_{i j} = {\dot{σ}}_{i j} + σ_{i k} Ω_{k j} - Ω_{i k} σ_{k j}, Ω_{i j} = W_{i j} - W_{i j}^{p}, {\hat{α}}_{i j} = {\dot{α}}_{i j} + α_{i k} Ω_{k j} - Ω_{i k} α_{k j} .

여기서 $W_{i j}$ : 연속체 스핀(continuum spin), $W_{i j}^{p}$ : 소성 스핀(plastic spin)이다.

현재 상태(current configuration)의 소성 스핀은 변형 기울기( $F_{i j}$ : deformation gradient)로부터 다음의 과정을 통해 얻을 수 있다[31]:

(76)

F_{i j} = R_{i k} U_{k j} = \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = F_{i k}^{e} F_{k j}^{p},

(77)

W_{i j} = {\dot{R}}_{i k} R_{k j}^{- 1}, R_{i j} = R_{i k}^{e} R_{k j}^{p}, W_{i j} = ({\dot{R}}_{i k}^{e} R_{k j}^{p} + R_{i k}^{e} {\dot{R}}_{k j}^{p}) (R_{i k}^{p - 1} R_{k j}^{e - 1}) = W_{i j}^{e} + R_{i k}^{e} {\dot{R}}_{k l}^{p} R_{l m}^{p} R_{m j}^{e - 1} = W_{i j}^{e} + W_{i j}^{p}

여기서 $R_{i j}, U_{i j}$ : 강체 회전(rigid body rotation) 및 우측 신장(right stretch) 텐서이다. 객관적 응력율에서의 소성 스핀은 현상학적뿐만 아니라 결정학적 슬맆계로부터도 얻을 수 있다[32,33].

4. 결 어

본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

∘ 열-구조 탄성 해석을 통해 단결정이 가장 낮은 응력을 보이며, 이에 따른 수명연장 효과.

∘ 이방 소재인 단결정 주조품에 대해 현상학적 모델(phenomenological model) 기반 변형율 독립 구성방정식 유도.

∘ 이동경화에 기반한 후방응력 전개식에서의 경화 계수 획득 기법 도출.

∘ Chaboche의 비선형 이동경화식과 달리 이중 후방응력 모델을 제안함으로써 광범위한 소성변형 모사 가능.

∘ 소성과 크리프의 비선형 변형 거동에 대해 각각 별도의 전개식의 유도 및 이를 통해 통합 구성방정식 유도.

여기서 제안된 모델은 향후 상용 코드에 대한 user sub-routine으로 구현될 예정이며 기존의 결정학적 상용 코드의 결과와 비교 및 검증될 예정이다.

Acknowledgements

이 연구는 2025년 정부(방위사업청)의 재원으로 국방과학연구소의 지원을 받아 수행된 미래도전국방기술 연구개발사업임(No.915053102).

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Journal of the Korean Society of Propulsion Engineers ISSN:1226-6027(Print) 2288-4548(Online) 한국추진공학회지

Preview

On Nonlinear Elastic-Plastic Constitutive Relation for Fatigue-Creep of the Turbine Structure

ABSTRACT

MAIN

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Table 1.

Comparison of EQ, DS, SX @ specific location of work piece (Obtained using ABAQUSTM).

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Fig. 1.

Effect of hardening rules on normal stress with respect to (ϵeqp); 1) isotropic, 2) Prager and 3) Two-back stress (f=0.5, 𝜁=0.4).

Fig. 2.

Effect of fractional factor on ratcheting behavior: 𝜁=0.4, σa=0.78 (amplitude) and σm=0.20 (mean), N: # of cycles.

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Fig. 3.

A general creep curve depicting 1st and 2nd steps creep flow(red line: piece-wise linearization of primary creep)[4].

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Comparison of EQ, DS, SX @ specific location of work piece (Obtained using ABAQUS^TM).

Effect of hardening rules on normal stress with respect to ( $ϵ_{e q}^{p}$ ); 1) isotropic, 2) Prager and 3) Two-back stress ( $f$ =0.5, 𝜁=0.4).

Effect of fractional factor on ratcheting behavior: 𝜁=0.4, $σ_{a}$ =0.78 (amplitude) and $σ_{m}$ =0.20 (mean), N: # of cycles.

A general creep curve depicting 1^st and 2^nd steps creep flow(red line: piece-wise linearization of primary creep)[4].