1. 서 론

우리나라의 우주개발은 지난 수년간 눈에 띄는 발전을 이루었으며, 이러한 추세를 이어가기 위해서 고급 전문인력 양성의 필요성이 더욱 강조되고 있다. 누리호 개발의 성공을 필두로 발사체 분야에서도 나로호 및 누리호 기술 및 체계를 활용하여 달탐사 발사체 등에 대한 연구[1,2], 과학로켓 임무[3,4], 및 발사체 신기술에 대한 고찰[5], 등의 연구가 진행되었다. 아울러 누리호 설계를 기반으로 대형의 정지궤도 발사체 임무 설계[6], 누리호 성능 향상[7] 및 고성능 소형 발사체[8,9] 등의 개념설계 연구가 진행되었으며, 소형 발사체를 대상으로 체계 통합 절차를 개발하는 연구[10], 등이 대학원 교육 차원에서 진행되었다. 그러나 학부 수준에서 강의식 수업과 견학 이외에 직접 학습대상으로 접할 수 있는 사례는 매우 부족한 편이다. 학부 동아리 활동의 경우 고체 로켓을 대상으로 하는 것이 보통이지만, 액체 로켓 발사체의 경우에는 가까이하기 쉽지 않은 상황이다. 따라서 액체 로켓 및 발사체 원리를 학생들이 직접 체험할 수 있는 보다 손쉬운 교보재로써 물로켓의 활용을 재고할 필요가 있다.

Fig. 1은 물로켓의 전형적인 구성을 보여주는 그림이다. 물로켓(water rocket)은 공기의 압력으로 큰 밀도의 물을 분사하고 반작용으로 추진력을 얻으므로 액체 로켓 발사체와 동일한 원리로 작동한다[11]. 따라서 물로켓은 통상적인 액체 로켓과 동일한 유체역학, 열역학, 비행 역학의 원리로 추진되어 비행하지만, 추진제(propellant) 열팽창이 없어 배출 속도가 작아 실용성이 부족한 반면, 화재의 위험이 없어 안전하므로 초중등 교육과정에서 뉴턴의 역학 법칙 등 물리 교육의 교보재로 널리 사용되고 있다[12,13,14,15].

Fig. 1.

Architecture of a typical water rocket.

항공우주공학에서는 체계 통합이 중요하기 때문에, 유체역학, 열역학 등 기초역학으로부터 추진 및 비행 역학을 바탕으로 체계 공학 전 과정을 수행할 수 있는 간단하고 저렴한 공학 교육 대상이다. 따라서 물로켓을 공학 교육의 도구로 이용하고자 하는 노력이 진행되었다[16,17,18,19,20,21,22]. 그러나 국내에서는 물로켓의 과학적 원리에 관한 내용이 충분히 체계적으로 정리된 문헌은 부족한 상황이다.

물로켓 추진성능에 대한 보다 정교한 해석을 위해서는 유동의 비정상 유동 및 기체 추진 시 압축성 효과 및 노즐 출구에서의 질식(choking), 2차원 다상 유동 특징 등을 고려하여야 하며, 이전의 연구에서 관련 연구가 일부 진행된 바 있다[23,24,25,26,27,28,29,30]. 그러나 본 논문은 압축성 유체역학이나, 다상 및 다차원 유체역학 등 높은 수준의 지식에 대한 필요없이 중등 학생이나 학부 저학년 수준의 기본적인 열역학과 유체역학 이론에 기반하여 물로켓 기초적인 추진 이론을 정리하고 공기압과, 액체 추진제(물)의 질량 등의 주요 설계 변수에 따른 성능 특성을 분석함으로써, 공학 설계 교육에 물로켓을 이용하기 위한 기초를 제공하고자 한다. 본 논문의 내용은 김 등[31]에 의한 이전 학술대회 발표논문을 추가적인 해석과 보완을 거쳐 체계적으로 다시 정리한 것이다.

2. 물로켓 추진 및 비행 역학

2.1 로켓 방정식과 물로켓

식 (1)은 로켓의 원리를 지배하는 Tsiolkovsky 로켓 방정식으로써, 추진력 발생에 의한 로켓의 속도 증분이 추진제 배출 속도(노즐 출구 속도, ue)와 초기 질량(M0) 과 최종 질량(또는 건조 중량, Mf)의 질량비(mass ratio, MR=M0/Mf)의 로그값의 곱으로 나타남을 알 수 있다. 이 식은 추진력 및 배출 속도가 일정하다는 가정하에서 얻어진 식이다.

일반적인 액체 로켓 발사체와 동일한 기본 원리에 따라 작동하는 물로켓은 기술적으로 우주선의 자세제어용으로 사용되는 단일추진제 추력기와 같이 가압식 단일추진제 액체 로켓으로 분류할 수 있다. 한편 발사체 자세 제어를 위해 사용되는 냉가스 추력기와 유사하게 연소에 의한 열 발생이 없으며, 열팽창에 따른 노즐 출구 속도, 및 비추력(specific impulse, Isp=ue/g, g는 중력 가속도, 표준 상태에서 9.8m/s)이 작아 실용성은 부족하지만, 고밀도 액체 추진제를 분사하므로 유량(m˙)이 커서 중량 대비 추진력(또는 추력, thrust, T=m˙ue), 즉, 추력 대 중량비(thrust-to-weight ratio)는 매우 큰 편이어서 커서 큰 초기 가속도를 얻을 수 있다.

우주발사체와 마찬가지로 물로켓의 건조 질량(dry mass, 또는 공 중량 empty weight) 는 구성 및 탑재물에 따라 달라질 수 있다. 구조적 측면에서는 가볍고 내압 특성이 좋으며 저렴하여 탄산음료 용기로 많이 사용되는 PET(polyethylene terephthalate) 병을 압력 용기로 사용하고, 일반적으로 물을 액체 추진제로 사용하므로 초기 질량과 최종 질량의 비율이 커서 실용 우주발사체에 비교되는 큰 질량비 또는 작은 구조비를 얻을 수 있다. 별도의 탑재물 없이 노즈 콘, 연결부, 압력 용기 및 방향 안정성을 위한 핀을 장착하는 기본적인 물로켓의 건조 질량을(empty weight) 0.1 kg 로 가정하고 500 mL 의 물을 추진제로 사용하면, 통상의 우주발사체 각 단의 질량비와 비교할만한 6.0의 질량비를 가지므로 추진제 평균 분출 속도의 1.79배에 해당하는 최고 속도를 얻을 수 있다.

물로켓의 노즈 콘은 무게 중심을 앞쪽으로 이동시켜 방향 안전성을 높이는 효과를 가지며, 뾰쪽한 형상은 항력 계수를 줄여주는 효과를 가진다. 연결부에는 탑재물을 장착할 수 있으며 발사체의 가로세로비를 증가시켜 방향 안정성에 도움이 되지만, 탑재물이 있는 경우에는 건조 질량을 증가시키고 제작 난이도를 높인다. 핀 및 스커트는 항력 및 중량 증가의 요인이지만, 공력 중심(aerodynamic center)을 무게 중심보다 후방으로 이동시켜 방향 안정성을 증가시킨다. 실제 발사체에서는 추력 벡터 제어 등으로 발사체의 방향 안정성을 제어하지만, 물로켓의 경우 추력방향 제어가 곤란하므로, 핀이 없는 경우에는 공력 중심이 무게 중심보다 전방에 위치하여 방향 안정성을 가지지 못한다.

물로켓의 압력 용기는 액체 로켓 추진제 탱크와 유사하다. 엔진 작동이 시작되어 추진제가 분사되면, 고압 공기는 배출된 추진제 만큼 부피가 팽창하면서 압력이 감소한다. 일반적인 액체 로켓 추진제 탱크에서는 추진제 배출 후 증가하는 기체 영역의 부피(ullage volume, 얼리지 체적)에 가압 기체를 추가로 주입하여 압력을 일정하게 유지하지만, 물로켓에서는 가압 기체 추가 주입이 곤란하므로, 물로켓은 시간이 지남에 따라 추력이 감소하는 비정상(unsteady) 작동을 한다는 차이점이 있다. 이에 따라 일반적인 액체 로켓에 비하여 추력 및 성능의 예측에 다소의 어려움이 있을 수 있다. 이는 단일추진제 추력기나 냉가스 추력기에서도 유사하지만, 실용 추력기는 보통 펄스 작동하므로 추진 시간 동안 압력 강하가 크지 않아 실질적으로 정상상태 작동으로 볼 수 있다. 그러나 물로켓은 한번 작동으로 모든 추진제를 배출하므로 추진 시간 동안의 압력 강하가 커서 정상상태 해석이 부적절하다.

한편 액체 추진제의 배출 이후에도 팽창된 충전 압력(fill pressure)은 여전히 대기압보다 높은 것이 보통이며, 고압 기체의 배출은 추가적인 추진력을 제공하므로 추력 발생 구간을 액체 추진과 기체 추진의 두 단계로 나누어 해석하여야 한다.

2.2 물로켓에 작용하는 힘

물로켓은 외부 대기 압력 보다 높은 압력으로 가압된 기체(공기)가 액체 추진제(물 + 고압 공기)를 외부로 배출하면서 반작용으로 추력을 얻는다. Fig. 2는 작동 초기, 중간 및 마지막 단계에 물로켓의 내 · 외부에 작용하는 힘을 간단히 표현한 자유 물체도이다. 물로켓 외부에는 표면를 따라 수직 방향으로 대기압이 작용하고, 내부에는 압력 용기에 주입된 추진제의 압력이 작용한다. 또한 물로켓의 건조 중량, 추진제(물 + 고압 공기) 중량이 중력 방향의 힘으로 작용한다.

Fig. 2.

The force acting on a water rocket.

추진제 분사가 시작되면 분사 방향으로 추력이 발생하며, 고압 공기는 배출된 추진제 만큼 부피가 팽창하면서 압력과 추력이 감소하는 비정상(unsteady)상태로 작동한다. 따라서 엄밀하게는 정상 상태 가정을 통하여 얻은 유체역학 방정식과 추력 방정식의 적용에 제한이 있다. 그러나 해석의 편리를 위하여 본 논문에서는 팽창 과정을 준정상상태(quasi-steady state)로 가정하여 정상상태의 방정식들을 그대로 이용하기로 한다.

액체 추진제 배출 이후에도 추진제 탱크 내의 압력은 여전히 고압으로써, 전체 속도 증분에 기여하는 부분은 작지만, 기체 추진제의 배출에 의하여 추가적인 추력이 발생한다. 따라서 물로켓의 추진과정은 크게 액체 추진과, 기체 추진의 두 구간으로 나누어 살펴볼 수 있다. 실제의 경우 액체 추진의 마지막 단계에서는 압력 용기 벽면으로 소용돌이 유동이 발생하며, 중앙부에 공동이 발생하여 액체와 기체가 동시에 배출되는 구간이 존재하는데, 보통 전 작동 구간에 비하여 길지 않는 시간이며, 이론 해석으로 해결하기 어려운 3차원 이상(two-phase) 유동의 전산유체(computational fluid dynamics, CFD) 해석이 필요하므로, 이론 성능 해석의 편의를 위하여 액체 추진 종료 직후 기체 추진이 이어서 진행되는 두 구간으로 간략하게 나누어 살펴보기로 한다.

2.3 액체 추진 이론

물로켓의 작동 시간은 매우 짧아서 주위와의 열 교환에 충분한 시간이 부족하므로, 내부 압력 변화를 도출하기 위해 단열 가정을 가정하면, 식 (2)의 등엔트로피 관계식을 이용하여 기체 체적(V) 증가에 따른 압력 변화를 구할 수 있다. 한편 추진제의 상변화와 외부 열전달 등의 열적 효과를 고려하기 위하여 polytropic 과정으로 가정하여, 비열비(𝛾) 보다 작은 폴리트로픽 지수(𝛽)를 비열비 대신 사용하면 보다 실제에 근접한 해석이 가능하다[24].

노즐 출구 속도, ve는 추진 성능에 가장 중요한 요소로써, 이를 계산하기 위해 물이 비압축성이라는 가정하에 식 (3)의 베르누이의 법칙(Bernoulli's theorem)을 사용할 수 있다. 비정상 상태에서 정상상태 가정으로부터 도출된 베르누이의 법칙을 그대로 적용하는 것은 다소의 문제가 있지만, 해석의 편리를 위하여 준정상 상태 가정을 적용하여 그대로 이용하기로 한다. 아울러 추진 시간 동안, 고도 변화는 크지 않다고 가정하여 중력의 영향도 무시하였다.

시간에 따라 변화하는 물로켓의 공기 압력을 p(t), 노즐 출구 압력 pe 은 일전한 대기압까지 팽창된다고 가정하면 베르누이 법칙은 다음 식 (4)와 같이 다시 정리할 수 있다.

한편 식 (4)의 정상 상태 연속방정식을 사용하고, 액체 추진제가 비압축성이라 가정하면 유체 밀도 𝜌 는 상수이고 내부 속도 u0와 출구 속도 ue의 관계를 식 (6)의 비압축성 연속방정식으로 얻을 수 있다. 여기서, A0 는 가압 용기(추진제 탱크)에서 액체 추진제 계면의 면적이고 Ae는 노즐 출구의 단면적이다.

식 (6)을 이용하여 베르누이 식에서 u0 를 소거하면 출구 속도를 다음과 같이 정리할 수 있다.

한편 위 식들은 시간에 따라 배출되는 액체 추진제의 소모량을 고려하여 체적 변화를 계산하고, 액체 추진제가 모두 소모되는 시점까지 계산을 진행하여 시간의 함수로써 결과를 얻을 수 있다. Δt 동안의 추진제 질량 변화는 식(5)와 Δt의 관계로부터 구할 수 있다. 이후 t+Δt에서의 액체 추진제 질량과 압축 공기의 부피는 다음 식 (8), (9)와 같이 구할 수 있다.

이후 t+Δt에서의 압력과 배출 속도는 식 (2)와 (7)로 부터 구할 수 있다.

2.4 기체 추진 이론

기체 추진의 경우에도 앞서와 유사한 방법으로 추진 성능을 계산할 수 있다. 다만 기체 추진제의 경우 추진제 소모에 따라 밀도가 변화하므로 이를 고려하여야 한다. 즉 추진제 질량 변화를 위 식 (8)로 구하되 추진제의 밀도는 다음 식 (10)으로부터 구한다.

여기서 Vf는 액체 추진제가 모두 배출된 압력 용기의 전체 부피이다.

추진 탱크 내부 압력은 액체의 경우와 마찬가지로 등엔트로피 가정을 이용하지만, 위의 밀도 변화를 이용하여 다음 식 (11)로 계산한다.

초기 충전 압력이 높고 면적비가 작은 경우, 액체 추진제 배출 후에도 노즐 출구에서 초킹(choking) 이 발생할 수 있는 정도로 높은 압력이 유지될 수 있다. 이 경우 압축성 유체의 이론을 적용하여야 정확한 계산이 가능하지만 [27,28,29,30], 학부 저학년 수준을 넘는 압축성 유체역학에 대한 다소 높은 수준의 지식이 필요하다. 그러나 실질적으로 압축성으로 고려하여야 하는 구간이 길지 않으므로 해석적 번거로움을 피하기 위하여 전 과정을 비압축성 기체로 가정하면 베르누이 법칙만을 이용하여 위 식 (7) 을 동일하게 이용하여 출구 속도를 얻을 수 있다.

다만 액체의 밀도가 아니라 훨씬 가벼운 기체의 밀도를 적용하여야 하므로 기체의 배출 속도는 액체 추진제에 비하여 매우 큰 값을 가질 것임을 예상할 수 있다. 그러나 기체의 작은 밀도 때문에 유량 및 추력은 크지 않아 전체 운동량 증가에 기여하는 정도는 크지 않다.

2.5 물로켓의 추력

일반적으로 정상 상태에서 로켓의 추력 T 는 식 (12) 같이 나타낼 수 있다.

추진제가 분사될 때 노즐에서 대기 압력으로 팽창한다고 가정하면 위 식에서 압력차에 의한 항은 소거되고 식 (13)과 같이 간단히 추력을 구할 수 있다. 유량은 식 (5)에서 구할 수 있다.

2.6 로켓 비행 역학

질량, m인 로켓의 가속도, a는 작용하는 모든 힘의 합, F 로부터 식 (14)와 같이 뉴턴의 운동 법칙으로부터 기술된다.

가속도와 힘은 벡터량으로 써 위 식은 3차원 벡터식이지만, 문제를 1차원 스칼라 식으로 간략화하기 위하여 수직 상승 운동만을 고려한다. 한편 작용하는 힘은 추력, 중력, 공기저항에 의한 항력으로 구분할 수 있으며 모든 변수는 시간의 함수이므로 다음과 같이 다시 정리할 수 있다.

위 식에서 추력 T 는 위 식 (15)로부터 얻어지며, 중력 가속도 g, 공기의 밀도 𝜌 및 항력 계수 Cd, 물로켓의 단면적 A 는 상수로 가정한다.

로켓의 가속도 a(t) 는 식 (15)의 양변을 질량으로 나누어 구할 수 있으며, 물로켓의 v(t) 속도는 가속도를 시간 적분하여, 로켓의 고도 h(t) 는 속도를 다시 시간 적분하여 구할 수 있다.

추력이 일정하고 항력을 무시할 수 있는 경우, 기초역학에 의한 이론해는 식 (18), (19)와 같다.

추진이 종료되어 추진력이 없고, 항력을 무시하는 자유 비행의 경우 속도와 고도에 대한 이론해를 구할 수 있지만, 추력이 시간에 따라 변하는 추진 구간을 포함하고, 최고 속도 수십 m/s에 달하는 물로켓의 공기 항력을 고려하면, 식 (15)는 이론해를 구하기 곤란한 비선형 미분 방적식이므로 수치 시간 적분을 통하여 근사해를 구하여야 한다.

물로켓의 비행 과정은 우주발사체와 마찬가지로 추력이 작용하는 동력 비행(powered flight) 구간과 추력 없이 중력과 항력만이 작용하는 관성 비행(inertial flight) 구간으로 나누어 살펴볼 수 있다. 동력 비행 구간에서 로켓의 속도는 추진 시간(일반적으로는 연소 시간, burn time, tb) 종료 시점에서 최고 속도가 얻어진다. 연소 시간이 짧을수록, 식 (15)에서 직관적으로 알 수 있듯이, 중력에 의한 추력 손실(중력 손실, gravity loss)이 작아져 더 큰 성능을 얻을 수 있다. 동력 비행 구간은 최고 속도를 얻는 과정이지만 전체 비행과정에서 짧은 시간에 해당하여 항력에 의한 손실 및 고도 증가는 크지 않다.

로켓은 연소 종료 후에 얻어진 최고 속도를 초기 속도로 하여 중력과 항력에 영향받으며 관성 비행한다. 수직 상승 시, 중력에 의한 속도 감소로 속도가 0이 되는 최고점(apogee)에 이른다. 최고점 이후에는 자유 낙하하며, 항력이 없는 경우 지상에 낙하 시에는, 연소 종료 시 최고 속도에 해당하는 운동 에너지와 위치 에너지의 합에 해당하는 운동 에너지로 다시 변환되어, 연소 종료 시 최고 속도 이상의 최종 속도를 가진다. 그러나 항력이 있는 경우 최종 속도가 감소하며, 중력과 항력이 같아지는 경우에는 종단속도(terminal speed)로 낙하한다. 그러나 발사체 형상에 의한 항력은 크지 않으므로, 낙하산이 없으면 종단 속도에 이르지 못하고, 발사 시 최고 속도에 가까운 최종 속도로 낙하한다. 큰 단면적과 항력계수를 가지는 낙하산을 전개하면, 항력을 크게 증가시켜 매우 작은 종단 속도를 얻을 수 있으므로 안전하게 착륙 및 회수할 수 있다. 이상에 기술한 바와 같이 물로켓은 일반적인 로켓 및 우주발사체와 동일한 원리로 비행 과정을 거치므로 발사체 공학 교육에서 이론과 실험을 안전하게 병행할 수 있는 훌륭한 교보재로 여겨진다.

3. 물로켓 성능 해석

3.1 해석 방법의 검증

물로켓 추진 이론의 검증을 위하여 Yonemoto 등[24]의 지상 실험 데이터와 비교 검증을 수행하였다. Yonemoto는 HBM의 RSCM-50KG-25155 로드셀과 COPAL Electronics의 PA-500-103G-10 압력 센서를 사용하여 100 μs의 샘플링 시간으로 추력과 용기 내부 압력을 측정하였다. 내경 9 mm 추가 노즐을 이용한 10 cm 직경의 1.5 L PET 용기에 500 mL(질량 500 g)의 물과 공기가 계기압 500 kPa 공기가 채워져 있다. 외기는 대기압 100 kPa 실온을 가정하였다.

Fig. 3은 추력 계산 결과와 측정 결과를 비교한 그림이다. 작동실험 결과와 비교하면 작동 초기에 고압으로 물 분사가 시작되면서 물 분사가 종료되는 시점까지 가스의 팽창에 따라 급격한 추력 감소가 발생한다. 실험 결과에 보이는 추력의 진동의 장치 구성의 특징에 따른 것으로 여겨진다. 액체 추진이 종료될 무렵 액체 추진제의 표면이 수평으로 하강하지 않고, 수위에 따라 소용돌이 회전 유동이 형성되고, 공기가 축을 중심으로 기둥을 형성하며 공기와 물이 같이 분사되는 현상이 관찰된다[25]. 그러나 다상 유동 전산유체 해석을 포함하지 않는 이론 해석모델에서는 이러한 유채역학적 현상을 고려할 수 없고, 액체 분사 종료 후 기체 분사가 이어지므로 이론 해석의 액체 추진의 시간이 조금 길게 나타난다.

Fig. 3.

Comparison of theoretical thrust variation with measured data by Yonemoto et al.[25].

액체 추진종료 후 기체 추진이 진행되는데, 실험에서는 소용돌이 액체 유동에 중심에 형성된 노즐 직경 보다 좁은 관 형태(tube-shape)의 공기 기둥으로 기체가 액체와 함께 배출되므로 추력이 더 긴 시간 유지되지만, 해석에서는 노즐 전체 면적을 통하여 배출되므로 기체 추진이 실험보다 다소 빠르게 진행된다. 많은 실험적 관찰에서 볼 수 있듯이 급격한 팽창에 따른 압력 감소로 기체 중의 수증기가 응축되어 운무(fog)가 형성되며, 팽창에 따른 온도 감소로 주위와의 열 교환이 있을 수 있으므로, 기체 팽창과정을 단열과정으로 가정하기 곤란하다. 따라서 비열비 𝛾=1.4를 고려한 건조기체 단열과정 해석은 실험 결과와 다소 차이를 보이며, 이전의 연구에서 제시된 바와 습한 단열과정으로 가정하여 비열비 대신 폴리트로픽 지수를 1.2 로 가정한 결과가 실험 데이터와 잘 일치하는 결과를 보여준다[24,26].

기체 추진이 시작되는 초반에는 압력차에 의한 공기의 압축성 효과가 나타날 수 있다. 압축성 및 비정상 추진의 효과에 대해서는 본 연구팀의 이전 연구에서 수행된 바 있으며[27,28,29,30], 본 논문의 범위를 벗어나지만, 비교를 위하여 압축성 이론에 의한 결과를 Fig. 3에 함께 나타내었다. 압축성 효과가 있는 경우 압력차가 여전히 큰 기체 추진의 초반에 질식(choking)에 의한 유량 제한으로 실험에서와 같이 추력이 급격히 출어드는 경향을 확인 할 수 있다. 그러나 실제로는 액체 추진과 기체 추진이 공존하는 영역이 존재하여 유효한 기체 배출 단면적이 더욱 좁아지므로 압축형 효과가 더 크게 나타날 수 있으며, 주어진 액체 및 기체 추진제의 양은 일정하므로 압축성 효과를 고려하는 경우 기체 추진 시간이 길어진다. 아울러 액체 및 기체 추진이 공존하는 실험의 경우에는 액체 추진의 추력 감소가 더욱 일찍 나타나며, 기체 추진 부분의 추력 발생 시간이 더욱 길게 나타난다. 상세한 연구는 압축성 다상 유동 전산 유체 해석을 이용하여야 더 정확한 예측이 가능할 것으로 여겨진다. 한편 기체 추진에 의한 추력은 크지 않으며 종료 시점으로 갈수록 더욱 줄어들므로 추력을 시간 적분한 총 운동량 증가(total impulse)에 기여하는 부분은 크지 않다. 아울러 해석 결과에서는 액체-기체 동시 분사 구간을 고려하지 못하는 대신, 액체 추진 시간이 조금 더 길게 유지되므로, 기체 추진 구간에서 차이를 상쇄하여 압축성과 비압축성, 그리고 실험과 해석에서의 총 운동량 증가에는 큰 차이가 없는 것으로 보인다.

3.2 물로켓 성능 해석 조건

물로켓의 기본적인 성능변수인 기체 충전압력과 액체 추진제 양에 따른 발사성능 변화를 살펴보기 위하여 이론 성능 분석을 수행하였다. 탑재물 없는 기본적인 물로켓을 가정하여 건조 질량을 0.1 kg 가정하였다. 압력 용기는 일반적인 탄산음료용의 1.5 L PET 용기를 고려하였다. 압력 용기의 내경은 10 cm, 노즐목 직경은 2 cm 로 설정하였다. 물로켓의 항력 계수가 0.3~0.4 로 나타난다는 이전 실험 자료를 바탕으로 항력계수 Cd는 0.4 로 보수적으로 가정하였다[23,27]. 식 (15), (16), (17)의 시간 적분에는 가장 간단한 적분법인 Euler 전방차분 기법을 이용하였으며, 시간 간격은 0.1 ms 로 설정하였다.

3.3 초기 압력이 성능에 미치는 영향

물로켓 내부 충전압력에 따른 추진 성능을 살펴보기 위하여 추진제(물)의 양을 500 mL(질량 500 g)로 고정시킨 경우에 대하여 충전 압력을 절대압 300~800 kPa 변화시키며 시간에 따른 물로켓의 압력 및 추력, 배출 속도 변화 로켓 속도, 고도 변화 등을 살펴보았다. PET 용기 내압 성능은 10 bar(1.0 MPa)를 초과하여 가압하면 소성 변형이 일어난다고 알려져 있다[32]. Fig. 4는 초기 충전압력 300 ~ 800 kPa 조건에서 시간에 따른 내부 압력변화 곡선이며, Fig. 5는 추력 변화를 나타낸 그래프이다. 추진제 배출에 따라 내부 압력은 비선형적으로 감소하며, 액체 추진제 배출 이후 가압 기체가 배출되면서 내부 압력은 급격히 감소하며 추진이 종료된다.

Fig. 4.

Variation of chamber pressure for various initial fill pressure.

Fig. 5.

Variation of thrust for various initial fill pressure.

내부 압력과 추력의 변화는 대체로 유사한 경향을 보이며, 초기 추력은 충전압력 300 kPa 에 125.9 N 에서 800 kPa 인 경우 440.5 N 까지, 이는 이륙시점에서의 추력 대 중량비로 환산할 경우 21.26 ~ 71.9 해당하는 값으로써, 실제 발사체에 비해서는 10배 이상의 큰 값을 가짐을 알 수 있다. 액체 추진이 작동하는 시간은 약 0.0996 ~ 0.0498 초, 기체 추진까지 고려한 경우에도 최대 0.167초 이내이다. 500 mL 의 추진제가 0.1초 이내에 배출되므로 평균 유량은 8 ~ 12 kg/s 에 가까운 큰 값을 가지며, 식 (14)의 추력식을 참고할 때 수십 m/s 에 달하는 배출 속도와 곱으로 수백 N에 달하는 추력을 발생한다.

Fig. 6은 배출 속도의 변화 곡선으로써, 압력이 높은 수록 짧은 배출 시간이 짧고 빠르게 분사됨을 알 수 있다. 한편, 액체 추진제 배출 속도는 20.0 ~ 37.4 m/s 사이에서 변화하며, 기체 추진제 배출의 경우 초기에는 300 m/s 이상의 속도를 보여 음속을 초과할 수 있음을 보여주지만, 이후 급격히 감소한다. 그러나 액체와 기체 추진제의 밀도를 고려할 때, 발사체의 운동량 증가에는 액체 추진제 배출이 주로 기여하고 기체 추진제 배출은 작은 정도만 기여한다. 이는 추력의 시간에 대한 적분인 총 운동량 증가를 총 질량으로 나눈 평균 배출 속도 또는 평균 비추력으로 평가할 수 있는데, 물로켓의 평균 배출 속도는 수십 m/s 이며, 이를 중력 가속도로 나눈 값으로써, 추진 효율로 생각할 수 있는 비추력은 10초 이내이다. 물로켓에서 매우 작은 비추력을 가지는 이유는 연소에 의한 열팽창으로 배출 속도가 수 km/s 에 달하는 우주발사체의 액체 로켓 엔진과 달리, 추진체가 열팽창 없이 낮은 속도로 배출되기 때문이다. 따라서 일반적인 액체 로켓 엔진에 비하여 낮은 효율(비추력)을 가지는 물로켓을 실용적인 용도로 고려하기는 곤란함을 알 수 있다. 기체 추진제 분사 과정에서 보다 정교한 압축성 이론 모델을 도입하는 경우, 더욱 정확한 예측이 가능할 것으로 예상하지만, 액체-기체 동시 배출 과정을 모사하는 다상 유동 해석을 포함하지 않다면 실험 데이터와 비교하여 큰 개선을 기대할 수는 없을 것이다.

Fig. 6.

Variation of nozzle exit velocity for various initial fill pressure.

Fig. 7은 최고 고도에 이르기까지 발사체가 얻는 속도의 변화이며, Fig. 8은 낙하 시까지 고도 변화를 보여준다. 본 해석에는 낙하산을 고려하지 않은 자유 낙하만을 고려하였다. 발사체의 속도 증가는 식 (1)의 로켓 방정식에 지배받으므로, 추진력이 작동하는 0.1초 이내의 시간에 충전 압력에 따라 28.2 ~ 69.2 m/s 이르는 최고 속도에 도달한다. 이후에는 관성 비행하면서 최고 속도의 운동 에너지가 위치 에너지로 환원되며 고도가 상승하고, 최고 고도에 도달한 이후에는 자유 낙하하여, 지상 충돌 시 발사 최고 속도를 회복한다. 단, 공기역학적 항력에 의하여 운동량의 손실이 발생하므로 추진 종료 시의 최대 운동 에너지를 회복하지는 못한다.

Fig. 7.

Variation of rocket speed for various initial fill pressure.

Fig. 8.

Variation of rocket altitude for various initial fill pressure.

각 충전 압력에 따른 해석 결과를 요약하여 Fig. 9와 Fig. 10으로 요약하였다. Fig. 9는 충전압력에 따른 평균 추력, 평균 비추력 및 총 운동량 증가 등 추진 성능을 정리한 그래프이며, Fig. 10 은 평균 가속도, 최대 속도 및 최대 고도 등 비행 성능을 정리한 그래프이다. 평균 가속도는 중력가속도 g=9.8m/s2으로 나누어 중력의 배수로 표시하였으며, 질량 당위 g 과의 혼동을 피하기 위하여 G 로 표시하였다. 초기 충전 압력이 300 kPa 에서 800 kPa 까지 증가함에 따라 액체 추진은 99.6 ~ 43.7 ms 이내에 종료되었으며, 기체 추진까지 포함한 총 추진시간(연소시간)은 117 ~ 78.5 ms에서 변화하였다. 액체 추진제 유량은 5.02 kg/s ~ 11.4 kg/s, 기체 추진제 유량은 0.215 kg/s ~ 0.352 kg/s 의 범위에서 변화하였다.

Fig. 9.

Summary of propulsion performance for various initial fill pressures.

Fig. 10.

Summary of flight performance for various initial fill pressures.

Fig. 9에서 평균 추력은 70 N에서 270 N 까지 까지 증가하며 평균 비추력은 1.7초에서 4.2초까지, 총 운동량 증가는 8.4 Ns 에서 21 Ns 까지 거의 선형에 가까운 정도로 증가함을 알 수 있다. 추진력이 발생하는 0.1초 이내의 짧은 시간 동안 고도 상승은 1.57 m ~ 3.77 m 로 최고 고도에 비하여 상당히 작은 구간으로 나타났다. Fig. 10 의 비행성능 그래프에서 가속도는 24.6 G 에서 106 G 까지 거의 선형적으로 증가하며, 최고 속도와 최고 고도는 각각 28.2 ~ 81.3 m/s(101 ~ 293 km/h), 27.3 ~ 79.7 m 의 범위에서 변화한다. 발사부터 낙하까지 물로켓의 총 비행 시간은 4.79초에서 8.21초까지로 변화하였다.

물로켓의 최고 속도가 작지 않으므로 공기 저항에 의한 고도 손실을 무시할 수 없음을 예상할 수 있다. 이상의 결과로부터 일반적인 발사체와 마찬가지로 압력 용기가 구조적으로 견딜 수 있는 내압 한계 근처까지 충전 압력(연소실 압력)을 높이는 것이 추진 성능 및 비행 성능을 증가시키기 위한 기본적인 방법임을 확인할 수 있다.

3.4 추진제(물) 질량에 따른 성능 변화

물로켓의 액체 추진제 충전량에 따른 추진 및 비행 성능을 살펴보기 위하여 추진제(물)의 양을 200 ~ 1,000 mL (질량 200 g ~ 1.0 kg, 물의 밀도 1.0 kg/L) 범위에서 이론 해석을 수행하였다. 초기 충전 압력은 PET 용기의 소성변형 한계에 안전 계수(safety factor)를 고려하여 800 kPa 로 설정하였다. Fig. 11과 Fig. 12는 200 ~ 700 g 범위에서 추진제 양에 따른 초기 압력과 발생 추력의 시간에 따른 변화를 나타낸 그래프이다. 액체 추진제의 질량이 증가할수록 추진 시간은 길어지지만, 압력 및 추력의 감소는 빠르게 나타남을 알 수 있다. 액체 추진은 27.8 ms ~ 77.2 ms 에서 종료되었으며, 기체 추진까지 포함한 총 추진시간(연소시간)은 61.9 ~ 105.7 ms에서 변화하였다. 액체 유량은 10.8 kg/s ~ 9.07 kg/s, 기체 유량은 0.345 kg/s ~ 0.275 kg/s 의 범위에서 변화하였다.

Fig. 11.

Variation of chamber pressure for various mass of liquid propellant.

Fig. 12.

Variation of thrust for various mass of liquid propellant.

액체 추진제 질량이 증가할수록 식 (1)의 질량비가 증가하여 큰 속도 증분을 얻을 수 있을 것으로 기대되지만, 가압 기체가 차지하는 얼리지(ullage) 체적 및 기체량은 작아지므로, 액체 추진제 배출에 따른 가압 기체의 압력은 더욱 빠르게 감소하여 배출 속도 및 비추력이 감소한다. 따라서 얻을 수 있는 평균 추력 및 최대 고도 등의 성능이 최대가 되는 액체 추진제 양이 존재함을 예상할 수 있다.

액체 추진제 양에 따른 해석 결과를 요약하여 Fig. 13과 14 로 요약하였다. Fig. 13은 추진제 양에 따른 평균 추력, 평균 비추력 및 총 임펄스 등 추진 성능을 정리한 그래프이며, Fig. 14는 평균 가속도, 최대 속도 및 최대 고도 등 비행 성능을 정리한 그래프이다. 물의 양이 증가할수록 총 운동량 증가는 크게 나타나지만 950 g을 최대로 더 이상 증가하지 않으며, 최대 추력은 500 g에서 223 N 으로 최대 값을 나타내고, 비추력은 4.90초 에서 2.43초로 지속적으로 감소한다. 따라서 Fig. 14의 비행 성능에서 최대 가속도는 119 G에서 30 G 까지 지속적으로 감소하며, 추진 종료시 얻어지는 최대 속도는 500 g에서 68.7 m/s 로 최대값을 가지며, 최대 고도 역시 500 g에서 69.8 m 로 나타났다.

Fig. 13.

Summary of propulsion performance for various liquid propellant mass.

Fig. 14.

Summary of flight performance for various liquid propellant mass.

4. 결 론

발사체 공학교육 교보재로 활용하기 위하여 학부 과정에서 수학하는 기초적인 열역학, 유체역학 및 추진 이론을 적용하여 물로켓의 추진 및 비행 과정에 대하여 간단한 수치적분 과정으로 해석할 수 있는 이론 해석 모델을 제시하였다. 이론 모델은 실험 데이터와 비교하여 검증하여 정확도를 검증하였으며, 이를 바탕으로 기체 충전압력 및 액체 추진제 양을 설계 변수로 하는 추진 및 비행 성능 해석을 수행하였다. 기체 충전압에 대한 해석 결과로부터 일반적인 발사체와 마찬가지로 압력 용기가 구조적으로 견딜 수 있는 내압 한계 가까이 기체 압력을 높이는 것이 추진 성능 및 비행 성능을 증가시키기 위한 기본적인 방법임을 확인할 수 있었으며, 추진제 양을 변화시킨 해석 결과에서는 질량비 증가와 비추력 증가가 반대로 작용하여, 최고의 성능을 얻을 수 있는 추진제 양이 존재함을 확인하였다.

본 논문에서는 물로켓을 중등 교육과정의 물리교육 교보재를 넘어 발사체 공학교육의 교보재로 활용하기 위하여, 우주 발사체 및 액체 로켓 추진 기관의 공학 용어를 활용하고 이들과 비교하여 이론 및 성능의 유사점과 차이점을 기술하였으며, 학부 발사체 교육과정에 액체 로켓 추진기관 및 발사체에 대한 이해 증진에 다소나마 도움이 되기를 기대한다.